Question

已知a，b為整數(shù)，且方程3x²+3（a+b）x+4ab=0的兩個根滿足關(guān)系式α（α+1）+β（β+1）=（α+1）（β+1），試求所有的整數(shù)點對（a，b）．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出a與b的關(guān)系，再根據(jù)根的判別式求出b的取值范圍，從而判斷出a、b的值．
解答：解：因為α²+α+β²+β=αβ+α+β+1，
所以α²+β²-αβ-1=0，
所以（α+β）²-3αβ-1=0①，
α+β=-a-b，αβ=，
代入①得（a+b）²-4ab-1=0，
所以（a-b）²=1，
a-b=±1，
而a＞b，
所以a-b=1，所以a=b+1，
在原方程中，△=9（a+b）²-4×4ab×3≥0，
整理，并把a=b+1代進去可知4b²+4b≤3，
兩邊加1 并用平方和公式知：
（2b+1）²≤4；
所以-2≤2b+1≤2，
而b為整數(shù)，
b=-1或0，
當b=-1時，
a=0，
代回去沒有問題，
b=0，a=1也沒問題，
所以（a，b）=（0，-1）或（1，0）．
點評：此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，重點在于考查同學們的邏輯推理能力，難度較大．