Question

【題目】在平行四邊形中，，，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由向運(yùn)動(dòng)（與、不重合），速度為每秒，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)以相同的速度由向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（不與重合），連結(jié)交AB于．

（1）如圖1，若，，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒后，.

（2）在（1）的條件下，作于F，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段長(zhǎng)度是否發(fā)生變化，如果不變，求出的長(zhǎng)；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，平行四邊形的面積是，那么在運(yùn)動(dòng)中是否存在某一時(shí)刻，點(diǎn)P，Q關(guān)于點(diǎn)E成中心對(duì)稱，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）2秒；（2）EF的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，且其長(zhǎng)度為3；（3）存在，a=5.

【解析】

（1）設(shè)cm，則cm，先據(jù)題意推得△ABC是等邊三角形，得，進(jìn)一步可得，再利用30°角的直角三角形的性質(zhì)得出關(guān)于x的方程，解方程即得結(jié)果；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PH∥BC交AB于點(diǎn)H，易知△APH是等邊三角形，先利用AAS證得△PEH≌△QEB，從而HE=BE，再在△APH中根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AF=FH，于是可得EF與AB的數(shù)量關(guān)系，問(wèn)題即得解決；

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻，使P，Q關(guān)于點(diǎn)E中心對(duì)稱，即PE=QE，作PG∥BC交AB于點(diǎn)G，如圖3，先利用AAS證明△PEG≌△QEB，從而得PG=AP，進(jìn)一步可利用推出AC=BC，再作CM⊥AB于點(diǎn)M，則由等腰三角形的性質(zhì)可求得BM的長(zhǎng)，然后根據(jù)平行四邊形的面積求出CM的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求出a的值.

解：（1）設(shè)cm，則cm，如圖1，

∵，，∴△ABC是等邊三角形，∴.

∵，∴，

∴，即，解得，即．

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒后，.

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PH∥BC交AB于點(diǎn)H，則∠HPE=∠BQE，

∵△ABC是等邊三角形，∴△APH是等邊三角形，∴AP=PH，

∵AP=BQ，∴PH=BQ，又∵∠PEH=∠QEB，∴△PEH≌△QEB（AAS），∴HE=BE.

∵△APH是等邊三角形，PF⊥AH，∴AF=FH，

∴EF=EH+FH=，

∴EF的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，且其長(zhǎng)度為3.

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻，使P，Q關(guān)于點(diǎn)E中心對(duì)稱，即PE=QE，

作PG∥BC交AB于點(diǎn)G，如圖3，則∠PGE=∠EBQ，

又∵∠PEG=∠BEQ，PE=QE，

∴△PEG≌△QEB（AAS），

∴PG=QB，∴PG=AP.

∵△APG∽△ACB，∴，∴AC=BC.

作CM⊥AB于點(diǎn)M，則BM=AM=3cm，

∵，，∴CM=4cm，

在Rt△BCM中，根據(jù)勾股定理，得；

∴BC=5cm，即a=5.