【題目】如圖,為⊙的直徑,點在的延長線上,點在⊙上,且.
(1)求證:是⊙的切線;
(2)已知,,點是的中點,,垂足為,交于點,求的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)EF=.
【解析】
(1)連接OC,由AB是直徑,可得∠ACB=90°,再由OA=OC,可得∠CAO=∠ACO,證明△PBC∽△PCA,可得∠PCB=∠CAO,繼而可得∠OCP=90°,由此即可得結(jié)論;
(2)連接OD,先求出PA=40,然后求出OA=15,由點是的中點,則可得∠FOD=90°,由△PBC∽△PCA,可得,證明△AEF∽△ACB,可得,即AE=2EF,證明△DOF∽△AEF,可得,從而求出OF=,進而求出AF=,在Rt△AEF中,利用勾股定理求出EF長即可.
(1)連接OC,
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°,
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∵,
∴,
又∵∠P=∠P,
∴△PBC∽△PCA,
∴∠PCB=∠CAO,
∴∠PCB+∠OCB=90°,即∠OCP=90°,
∴PC是⊙O的切線;
(2)連接OD,
∵,,,
∴PA=40,
∴AB=PA-PC=30,
∴OA=15,
∵點是的中點,AB是直徑,
∴OD=OA=15,DO⊥AB,即∠FOD=90°,
∵△PBC∽△PCA,
∴,
∵∠AEF=∠ACB=90°,∠A=∠A,
∴△AEF∽△ACB,
∴,即AE=2EF,
∵∠AEF=∠DOF=90°,∠AFE=∠DFO,
∴△DOF∽△AEF,
∴,
∴OF=OD=,
∴AF=AO-OF=,
在Rt△AEF中,AF2=AE2+EF2,
即()2=(2EF)2+EF2,
∴EF=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在等邊△ABC中,AB=6cm,AD⊥BC于點D,動點F從點C出發(fā),沿CB方向以1cm/s的速度向點D運動;同時,動點P也從點C出發(fā),沿CA方向以3cm/s的速度向點A運動,過點P作PE∥BC,與邊AB交于點E,與AD交于點G,連結(jié)ED,PF.設(shè)運動的時間為t(s)(0<t<2).
(1)當(dāng)t為何值時,四邊形EDFP為平行四邊形?
(2)設(shè)四邊形EDFP面積為y,求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)連結(jié)PD、EF,當(dāng)t為何值時,PD⊥EF?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生的安全意識情況,在全校范圍內(nèi)隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,把學(xué)生的安全意識分成“淡薄”、“一般”、“較強”、“很強”四個層次,并繪制成如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)這次調(diào)查一共抽取了 名學(xué)生,其中安全意識為“很強”的學(xué)生占被調(diào)查學(xué)生總數(shù)的百分比是 ;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)該校有1800名學(xué)生,現(xiàn)要對安全意識為“淡薄”、“一般”的學(xué)生強化安全教育,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計全校需要強化安全教育的學(xué)生約有 名.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+與x軸分別交于點A(﹣1,0),B(3,0),點C是頂點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,線段DE是射線AC上的一條動線段(點D在點E的下方),且DE=2,點D從點A出發(fā)沿著射線AC的方向以每秒2個單位長度的速度運動,以DE為一邊在AC上方作等腰Rt△DEF,其中∠EDF=90°,設(shè)運動時間為t秒.
①點D的坐標(biāo)是 (用含t的代數(shù)式表示);
②當(dāng)直線BC與△DEF有交點時,請求出t的取值范圍;
(3)如圖2,點P是△ABC內(nèi)一動點,BP=,點M,N分別是AB,BC邊上的兩個動點,當(dāng)△PMN的周長最小時,請直接寫出四邊形PNBM面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題情境
在綜合實踐課上,同學(xué)們以“正方形和直線的旋轉(zhuǎn)”為主題分組開展數(shù)學(xué)探究活動,已知正方形ABCD,直線PQ經(jīng)過點A,并繞點A旋轉(zhuǎn),作點B關(guān)于直線PQ的對稱點E,直線DE交直線PQ于點F,連結(jié)AE,BE.
操作發(fā)現(xiàn)
(1)如圖1,設(shè)∠PAB=25°則∠ADF= °.
(2)“夢想小組”的同學(xué)們發(fā)現(xiàn),∠BEF的度數(shù)是一個定值,這個值為 .
(3)“創(chuàng)新小組”的同學(xué)們發(fā)現(xiàn),線段AB、DF、EF之間存在特殊的數(shù)量關(guān)系,請寫出這一關(guān)系式,并說明理由:
拓展應(yīng)用
(4)如圖2,當(dāng)直線PQ在正方形ABCD的外部時,“進取小組”的同學(xué)們發(fā)現(xiàn)(3)的結(jié)論仍然成立,并提出新問題;若DF=3,EF=4,直接寫出正方形ABCD的邊長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,AD與BC相交于點E,AF平分∠BAD,交BC于點F,交CD的延長線于點G.
(1)若∠G=29°,求∠ADC的度數(shù);
(2)若點F是BC的中點,求證:AB=AD+CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,其對稱軸為直線x=﹣1,與x軸的交點為(x1,0)、(x2,0),其中0<x2<1,有下列結(jié)論:①b2﹣4ac>0;②4a﹣2b+c>﹣1;③﹣3<x1<﹣2;④當(dāng)m為任意實數(shù)時,a﹣b≤am2+bm;⑤3a+c=0.其中,正確的結(jié)論有( )
A.②③④B.①③⑤C.②④⑤D.①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有4張相同的卡片分別寫著數(shù)字﹣1、2、﹣3、4,將卡片的背面朝上,并洗勻.從中任意抽取1張,并將所取卡片上的數(shù)字記作一次函數(shù)y=kx+b中的k;再從余下的卡片中任意抽取1張,并將所取卡片上的數(shù)字記作一次函數(shù)y=kx+b中的b.則這個一次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過第一、二、四象限的概率是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(﹣2,1),B(1,n)兩點.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值>反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.
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