Question

13．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠BAC的角平分線交圓弧于點(diǎn)D，半圓O在點(diǎn)D處的切線與直線AC交于點(diǎn)E．
（1）求證：△ADE∽△ABD；
（2）填空：①若ED：DB=$\sqrt{3}$：2，則AE：AB=3：4；
②連接OC、CD，當(dāng)∠BAC的度數(shù)為60°時(shí)，四邊形BDCO是菱形．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，根據(jù)角平分線的定義和已知以及平行線的判定得到OD∥AE，得到∠E=90°，根據(jù)相似三角形的判定定理證明；
（2）作DG⊥AB于G，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求出△ADE與△ABD的面積比，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；
（3）根據(jù)菱形的判定定理和等邊三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 （1）證明：如圖1，連接OD，
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠EAD=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE是圓O的切線，
∴OD⊥DE，
∴∠E=90°，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD=∠DAB，∠E=∠ADB，
∴△ADE∽△ABD；
（2）①如圖2，作DG⊥AB于G，
∵AD是∠BAC的角平分線，∠E=90°，DG⊥AB，
∴DE=DG，
∵△ADE∽△ABD，ED：DB=$\sqrt{3}$：2，
∴△ADE與△ABD的面積比為3：4，即$\frac{\frac{1}{2}×AE×DE}{\frac{1}{2}×AB×DG}$=$\frac{3}{4}$，
∴AE：AB=3：4；
②如圖3，當(dāng)四邊形BDCO是菱形時(shí)，
∴BD=OC，CD∥OB，
當(dāng)CD∥OB時(shí)，BD=AC，
則△AOC為等邊三角形，
故∠BAC=60°時(shí)，四邊形BDCO是菱形．
故答案為：①3：4；②60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓的切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定，掌握圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑、相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．