Question

【題目】如圖①，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去四個(gè)全等的等腰直角三角形（陰影部分所示），其中E，F(xiàn)在AB上；再沿虛線折起，點(diǎn)A，B，C，D恰好重合于點(diǎn)O處（如圖②所示），形成有一個(gè)底面為正方形GHMN的包裝盒，設(shè)AE=x （cm）．

（1）求線段GF的長(zhǎng)；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形GHPF的面積S （cm2）最大？最大面積為多少？
（3）試問(wèn)：此種包裝盒能否放下一個(gè)底面半徑為15cm，高為10cm的圓柱形工藝品，且使得圓柱形工藝品的一個(gè)底面恰好落在圖②中的正方形GHMN內(nèi)？若能，請(qǐng)求出滿足條件的x的值或范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AE=BF=x，

∴EF=AB﹣AE﹣BF=60﹣2x．

∴在Rt△GEF中，GF= EF= ×（60﹣2x）=30 ﹣ x；

（2）解：∵NG= AE= x，即GH=NG= x，

∴S= x （30 ﹣ x）=﹣2x2+60x

=﹣2（x﹣15）2+450；

∵﹣2＜0，

∴當(dāng)x=15時(shí)，S最大=450；

（3）解：能放下．

理由是：當(dāng)圓柱形工藝品與GHMN相切時(shí)，x=15 ，

此時(shí)，30 ﹣ x=30 ﹣15 × =30 ﹣30＞10，故一定能放下．

根據(jù)題意得：

解得：15 ≤x≤30﹣5 ．

【解析】（1）主要考查切去的圖形為等腰直角三角形，等腰直角三角形的邊比為1：1：，根據(jù)邊比的關(guān)系，即可分別寫出對(duì)應(yīng)邊的量。
（2）因?yàn)榧羧サ臑榈妊�直角三角形，所以�?duì)應(yīng)的△FBP也為等腰直角三角形，即GH=NG，底面為正方形，即可表達(dá)出S的表達(dá)式，利用二次函數(shù)進(jìn)行求最值。（3）根據(jù)圓柱工藝品的高和底面半徑列出相應(yīng)的不等式進(jìn)行求解即可。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值和正多邊形和圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角；圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等才能正確解答此題．