Question

20．當(dāng)x分別取2016、2015、2014…、2、1、1、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、…、$\frac{1}{2014}$、$\frac{1}{2015}$、$\frac{1}{2016}$時(shí)，計(jì)算分式$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$的值，再將所得結(jié)果相加，其和等于（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． -1
• D． 2014

Answer 1

分析 設(shè)a為負(fù)整數(shù)，將x=a代入得：$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$，將x=-$\frac{1}{a}$代入得：$\frac{（-\frac{1}{a}）^{2}-1}{（-\frac{1}{a}）^{2}+1}$=$\frac{\frac{1-{a}^{2}}{{a}^{2}}}{\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}}}$=$\frac{1-{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$，故此可知當(dāng)x互為負(fù)倒數(shù)時(shí)，兩分式的和為0，然后求得分式的值即可．

解答 解：∵將x=a代入得：$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$，將x=-$\frac{1}{a}$代入得：$\frac{（-\frac{1}{a}）^{2}-1}{（-\frac{1}{a}）^{2}+1}$=$\frac{\frac{1-{a}^{2}}{{a}^{2}}}{\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}}}$=$\frac{1-{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$，
∴$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{1-{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$=0，
故當(dāng)x分別取2016、2015、2014…、2、1、1、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、…、$\frac{1}{2014}$、$\frac{1}{2015}$、$\frac{1}{2016}$時(shí)，得出分式$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$的值，再將所得結(jié)果相加，其和等于：0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是分式的加減，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x的值互為負(fù)倒數(shù)時(shí)，兩分式的和為0是解題的關(guān)鍵．