Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4 cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2 cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(0＜t≤15)．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連結(jié)DE，EF.

(1)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）能，理由詳見解析；（2）當(dāng)t＝或12秒時(shí)，△DEF為直角三角形

【解析】

（1）能．首先證明四邊形AEFD為平行四邊形，當(dāng)AE=AD時(shí)，四邊形AEFD為菱形，即60-4t=2t，解方程即可解決問題；

（2）分三種情形討論①當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，②當(dāng)∠EDF=90°時(shí)．③當(dāng)∠EFD=90°，分別求解即可

解：(1)能．

理由：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，

∴DF＝2t，

又∵AE＝2t，

∴AE＝DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，

又∵AE＝DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，

當(dāng)AE＝AD時(shí)，四邊形AEFD為菱形，

即60－4t＝2t，解得t＝10.

∴當(dāng)t＝10秒時(shí)，四邊形AEFD為菱形；

(2)①當(dāng)∠DEF＝90°時(shí)，由(1)知四邊形AEFD為平行四邊形，

∴EF∥AD，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，

∵∠A＝60°，

∴∠AED＝30°，

∴AD＝AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t，

解得t＝12；

②當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，

在Rt△AED中∠A＝60°，則∠ADE＝30°，

∴AD＝2AE，

即60－4t＝4t，解得t＝；

③若∠EFD＝90°，則E與B重合，

D與A重合，此種情況不存在．

綜上所述，當(dāng)t＝或12秒時(shí)，△DEF為直角三角形