Question

如圖，雙曲線y=

k

x

與直線l：y=-kx+b（k＞0，b＞0）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)A，AC⊥x軸于C，直線l交x軸于點(diǎn)B．
（Ⅰ）求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；
（Ⅱ） 已知△ABC的面積等于1，若有一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)開(kāi)始移動(dòng)，假定其每次只能向上或向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度（向上和向右的可能性相同）．求3次移動(dòng)后，該點(diǎn)在直線l上的概率．

Answer 1

分析：（1）先聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式即可得出關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)△=0即可得出b=2k，把b=2k代入關(guān)于x的一元二次方程即可得出x的值，進(jìn)而得出A點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）由b=2k可得出直線l的方程，故可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，由S_△ABC=

1

2

AC•BC=1可得出k的值，故可得出直線l的方程，列舉出動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)每次向上或向右移動(dòng)1個(gè)單位移動(dòng)三次時(shí)所有可能的結(jié)果，再求出該點(diǎn)在直線l上的概率即可．

解答：解：（Ⅰ）聯(lián)立

y= k x y=-kx+b

，得 kx²-bx+k=0．
∵雙曲線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)A，
∴△=b²-4k²=0，即b²=4k²，
∵b＞0，k＞0，
∴b=2k，
∴kx²-2kx+k=0，k（x-1）²=0．
解得：x=1，即A點(diǎn)橫坐標(biāo)為1；

（Ⅱ）∵b=2k，
∴直線l的方程為y=-kx+2k，
令y=0得：l與x軸交點(diǎn)B為（2，0），
∴OB=2．
又∵A（1，k），AC⊥x軸，
∴OC=1，AC=k，BC=2-1=1．
又∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=1，即

1

2

•k•1=1，解得：k=2．
∴直線l的方程為 y=-2x+4，
∴動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)每次向上或向右移動(dòng)1個(gè)單位，有8種可能結(jié)果：（右，右，右）、（右，右，上）、（右，上，右）、（右，上，上），（上，右，右）、（上，右，上）、（上，上，右）、（上，上，上）．
其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別是：（3，0）、（2，1）、（2，1）、（1，2）、（2，1）、（1，2）、（1，2）、（0，3）．
其中恰好在直線l：y=-2x+4上的共有3種，
∴該點(diǎn)在直線l上的概率P=

3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題及概率公式、一元二次方程根的判別式，先根據(jù)題意得出b與k的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．