Question

【題目】已知C為線段AB中點(diǎn)，∠ACM＝α．Q為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)P在射線CM上，連接PA，PQ，記BQ＝kCP．

（1）若α＝60°，k＝1，

①如圖1，當(dāng)Q為BC中點(diǎn)時(shí)，求∠PAC的度數(shù)；

②直接寫出PA、PQ的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2，當(dāng)α＝45°時(shí)．探究是否存在常數(shù)k，使得②中的結(jié)論仍成立？若存在，寫出k的值并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②PA=PQ．（2）存在，使得②中的結(jié)論成立．

【解析】

（1）①如圖1，作輔助線，構(gòu)建等邊三角形，證明△ADC為等邊三角形．根據(jù)等邊三角形三線合一可得∠PAC＝∠PAD＝30°；

②根據(jù)①中得結(jié)論：∠PAC＝∠PQC＝30°，則PA＝PQ；

（2）存在k=，如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△PAD≌△PQC（SAS）．可得結(jié)論．

解：（1）①如圖1，在CM上取點(diǎn)D，使得CD＝CA，連接AD，

∵∠ACM＝60°，

∴△ADC為等邊三角形．

∴∠DAC＝60°．

∵C為AB的中點(diǎn)，Q為BC的中點(diǎn)，

∴AC＝BC＝2BQ．

∵BQ＝CP，

∴AC＝BC＝CD＝2CP．

∴AP平分∠DAC．

∴∠PAC＝∠PAD＝30°．

②∵△ADC是等邊三角形，

∴∠ACP＝60°，

∵PC＝CQ，

∴∠PQC＝∠CPQ＝30°，

∴∠PAC＝∠PQC＝30°，

∴PA＝PQ；

（2）存在，使得②中的結(jié)論成立．

證明：過點(diǎn)P作PC的垂線交AC于點(diǎn)D．

∵∠ACM＝45°，

∴∠PDC＝∠PCD＝45°．

∴PC＝PD，∠PDA＝∠PCQ＝135°．

∵，，

∴CD＝BQ．

∵AC＝BC，

∴AD＝CQ．

∴△PAD≌△PQC（SAS）．

∴PA＝PQ．