Question

如果點(diǎn)P將⊙O的弦AB和CD分成的四條線段PA，PB，PC，PD的長(zhǎng)度恰好是四個(gè)互不相同的正整數(shù)，則稱點(diǎn)P為⊙O的”整分點(diǎn)”．現(xiàn)已知M是半徑為5的⊙O上一點(diǎn)，則在半徑OM上有________個(gè)不同的整分點(diǎn)．

Answer 1

2
分析：設(shè)PA•PB=PC•PD=k，則只需k不是質(zhì)數(shù)和質(zhì)數(shù)的平方，又有圓冪定理及⊙O的半徑為5，得k=25-OP²，則k是小于25且不是質(zhì)數(shù)和質(zhì)數(shù)的平方的正整數(shù)弧，進(jìn)而求得k的取值．從而得出滿足題意的答案．
解答：由已知得，線段PA，PB，PC，PD的長(zhǎng)是互不相同的正整數(shù)，且滿足PA•PB=PC•PD，
設(shè)PA•PB=PC•PD=k，則只需k不是質(zhì)數(shù)和質(zhì)數(shù)的平方即可，
又有圓冪定理及⊙O的半徑為5，得k=25-OP²，
所以k是小于25且不是質(zhì)數(shù)和質(zhì)數(shù)的平方的正整數(shù)弧，
即k可以取6，8，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，共12個(gè)數(shù)．
故滿足題意的整分點(diǎn)P，共有12個(gè)，但注意到弦長(zhǎng)不大于直徑，故滿足題意的只有6，8，
即共有2個(gè)點(diǎn)．
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道新定義的題目，考查了一元二次方程的整數(shù)根和有理根以及相交相定理，是競(jìng)賽題，難度較大．