Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切線，切點為點D，直線AC交⊙C于點E、F，且CF=AC，

（1）求證：△ABF是直角三角形．

（2）若AC＝6，則直接回答BF的長是多少．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 3.

【解析】

（1）連接DC，根據(jù)AB是⊙C的切線，所以CD⊥AB，根據(jù)CD=AC，得出∠A=30°，因為AC=BC，從而求得∠ACB的度數(shù)，證明△BCD≌△BCF，可得∠BFC=∠BDC=90°，結(jié)論得證；

（2）由（1）知BF=AD，然后在Rt△ACD中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出AD，從而得到BF的長．

（1）證明：如圖，連接CD，則CF=CD，

∵AB是⊙C的切線．

∴CD⊥AB，∠ADC=∠BDC=90°，

在Rt△ACD中，

∵CF，

∴CD=CF，

∴∠A=30°

∵AC=BC∴∠ABC=∠A=30°，

∴∠ACB=120°，

∠BCD=∠BCF=60°，

又∵BC=BC，

∴△BCD≌△BCF（SAS），

∴∠BFC=∠BDC=90°，

∴△ABF是直角三角形．

（2）解：∵AC=BC，CD⊥AB，

∴AD=BD=BF，

在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=6，

∴CDAC=3，

∴ADCD=3．

∴BF=3．