Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC∶BC＝4∶3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

（1）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）當(dāng)x＝5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M，使△BCM得周長(zhǎng)最小，若存在，求出最小周長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在x，使得以△PBQ的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心作圓時(shí)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)均在這個(gè)圓上，若存在，求出 x的值；不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)、y=－＋8x（0＜x≤3），y=；(2)、16；(3)、x=.

【解析】

試題分析：(1)、分點(diǎn)Q在邊BC上和點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)；(2)、根據(jù)AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5以及AC=8，AB=10，從而得出PQ是AC的垂直平分線，則PC=AP=5，即當(dāng)點(diǎn)M與P重合時(shí)，△BCM的周長(zhǎng)最小；(3)、本題需要分三種情況得出答案.

試題解析：(1)、①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)．y=－＋8x（0＜x≤3），

②當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y==（3＜x＜7）；

(2)、存在． 理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5， ∵AC=8，AB=10，

∴PQ是△ABC的中位線， ∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分線，

∴PC=AP=5， ∴當(dāng)點(diǎn)M與P重合時(shí)，△BCM的周長(zhǎng)最小，

∴△BCM的周長(zhǎng)為： MB＋BC＋MC＝PB＋BC＋PC=5＋6＋5=16． ∴△BCM的周長(zhǎng)最小值為16．

(3)、由題意得△PBQ為等腰三角形。

①PQ=PB,x=＞3(舍) ②BQ=BP，x=＞3（舍） ③QP=QB,x=，

綜上所述，存在滿足題意得x，x=.