Question

已知拋物線y=-

1

2

x²+bx+4上有不同的兩點(diǎn)E（k+3，0）和F（-k-1，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖，拋物線y=-

1

2

x²+bx+4與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和B，M為AB的中點(diǎn)，∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ=45°，MP交y軸于點(diǎn)C，MQ交x軸于點(diǎn)D．設(shè)AD的長(zhǎng)為m（m＞0），BC的長(zhǎng)為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)k＞0且∠PMQ的邊過點(diǎn)F時(shí)，求m、n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=-

1

2

x²+bx+4上有不同的兩點(diǎn)E（k+3，0）和F（-k-1，0），得出對(duì)稱軸進(jìn)而得出b的值；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BCM=∠AMD，進(jìn)而得出△BCM∽△AMD，即可求出n和m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)F（-k-1，0）在y=-

1

2

x2+x+4上，求出k的值，進(jìn)而得出①M(fèi)F過M（2，2）和F（-2，0），求出直線MF的解析式，進(jìn)而得出直線MF與x軸交點(diǎn)為（-2，0），與y軸交點(diǎn)為（0，1），根據(jù)若MP過點(diǎn)F（-2，0），則n=4-1=3，m=

8

3

，若MQ過點(diǎn)F（-2，0），則m=4-（-2）=6，n=

4

3

，再根據(jù)②MF過M（2，2）和F（-4，-8），求出m，n的值即可，

解答：解：（1）拋物線y=-

1

2

x2+bx+4的對(duì)稱軸為x=-

b

2×(- 1 2 )

=b．　
∵拋物線上不同兩個(gè)點(diǎn)E （k+3，0）和F （-k-1，0）的縱坐標(biāo)相同，
∴點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，則　b=

(k+3)+(-k-1)

2

=1，且k≠-2．
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+x+4．　
　　　　　　　　　　
（2）∵拋物線y=-

1

2

x2+x+4與x軸的交點(diǎn)為A（4，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，4），
∴AB=4

2

，AM=BM=2

2

．　　　　　　　　　　　　　　　　
在∠PMQ繞點(diǎn)M在AB同側(cè)旋轉(zhuǎn)過程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直線AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°．
∴∠BCM=∠AMD．
故△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴

BC

AM

=

BM

AD

，
即　

n

2 2

=

2 2

m

，
n=

8

m

．
故n和m之間的函數(shù)關(guān)系式為n=

8

m

（m＞0）．　　
　　　　　　　
（3）∵F（-k-1，0）在y=-

1

2

x2+x+4上，
∴-

1

2

(-k-1)2+(-k-1)+4=-k2+1，
化簡(jiǎn)得，k²-4k+3=0，
∴k₁=1，k₂=3．　　　　       
∵k＞0，
∴F（-2，0）或（-4，0）．　　    　　　　　　　　　　
①當(dāng)MF過M（2，2）和F（-2，0），設(shè)MF為y=kx+b，
則　

2k+b=2 -2k+b=0.

解得，

k= 1 2 b=1.

∴直線MF的解析式為y=

1

2

x+1．
直線MF與x軸交點(diǎn)為（-2，0），與y軸交點(diǎn)為（0，1）．
若MP過點(diǎn)F（-2，0），則n=4-1=3，m=

8

3

；
若MQ過點(diǎn)F（-2，0），則m=4-（-2）=6，n=

4

3

．　　
②MF過M（2，2）和F₁（-4，-8），設(shè)MF為y=kx+b，
則

2k+b=2 -4k+b=-8

，
解得

k= 5 3 b=- 4 3

；
∴直線MF的解析式為 y=

5

3

x-

4

3

；
直線MF與x軸交點(diǎn)為（

4

5

，0），與y軸交點(diǎn)為（0，-

4

3

）；
若MP過點(diǎn)F（-4，-8），則n=4-（-

4

3

）=

16

3

，m=

3

2

；
若MQ過點(diǎn)F（-4，-8），則m=4-

4

5

=

16

5

，n=

5

2

；
故當(dāng)

m1= 8 3 n1=3

，

m2=6 n2= 4 3

，

m3= 3 2 n3= 16 3

，

m4= 16 5 n4= 5 2

時(shí)，∠PMQ的邊過點(diǎn)F．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出M，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．