Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．

（1）求證：DC為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，BC=6，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC．如圖1所示

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠OAC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴DA∥OC，

∵AD⊥DC，

∴∠ADC=90°，

∴∠OCD=90°，

即OC⊥DC，

∵OC為半徑，

∴DC為⊙O的切線．

（2）解：連接BC，如圖2所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴AB=10，∠ACB=90°=∠ADC，

∴AC= =8，

又∵∠DAC=∠OAC，

∴△ACD∽△ABC，

∴ ，即 ，

解得：CD=4.8．

【解析】（1）根據(jù)切線的判定方法只要求出∠OCD=90°即可；由AC平∠DAB，得到∠DAC=∠OAC，由OA=OC，得到∠OCA=∠OAC，∠DAC=∠OCA，DA∥OC，因?yàn)锳D⊥DC，所以∠ADC=90°，∠OCD=90°，即OC⊥DC，由OC為半徑，所以DC為⊙O的切線；（2）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)勾股定理求出AC的值，又兩角相等兩三角形相似，得出△ACD∽△ABC，寫出比例式求出CD的值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．