Question

（2013•營(yíng)口）如圖1，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，F(xiàn)是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F與A、C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF，連接BF、AD．
（1）①猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；
②將圖1中的正方形CDEF，繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖2、圖3的情形．圖2中BF交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O，請(qǐng)你判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷．
（2）將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改為矩形CDEF，如圖4，且AC=4，BC=3，CD=

4

3

，CF=1，BF交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O，連接BD、AF，求BD²+AF²的值．

Answer 1

分析：（1）①證△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出結(jié)論；②證△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出結(jié)論；
（2）連接FD，根據(jù)（1）得出BO⊥AD，根據(jù)勾股定理得出BD²=OB²+OD²，AF²=OA²+OF²，AB²=OA²+OB²，DF²=OF²+OD²，推出BD²+AF²=AB²+DF²，即可求出答案．

解答：解：（1）①BF=AD，BF⊥AD；

②BF=AD，BF⊥AD仍然成立，
證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴CD=CF，∠FCD=90°，
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，
即∠BCF=∠ACD，
在△BCF和△ACD中

BC=AC ∠BCF=∠ACD CF=CD

∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴BF=AD，∠CBF=∠CAD，
又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BF⊥AD；

（2）連接DF，

∵四邊形CDEF是矩形，
∴∠FCD=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠FCD
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，
即∠BCF=∠ACD，
∵AC=4，BC=3，CD=

4

3

，CF=1，
∴

BC

AC

=

CF

CD

=

3

4

，
∴△BCF∽△ACD，
∴∠CBF=∠CAD，
又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°
∴∠CAD+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BF⊥AD，
∴∠BOD=∠AOB=90°，
∴BD²=OB²+OD²，AF²=OA²+OF²，AB²=OA²+OB²，DF²=OF²+OD²，
∴BD²+AF²=OB²+OD²+OA²+OF²=AB²+DF²，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB²=AC²+BC²=3²+4²=25，
∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=

4

3

，CF=1，
∴DF2=CD2+CF2=(

4

3

)2+12=

25

9

，
∴BD²+AF²=AB2+DF2=25+

25

9

=

250

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△BCF≌△ACD，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，有一定的難度．