Question

閱讀材料，解答問題．
材料：“小聰設(shè)計的一個電子游戲是：一電子跳蚤從這P₁（-3，9）開始，按點的橫坐標(biāo)依次增加1的規(guī)律，在拋物線y=x²上向右跳動，得到點P₂、P₃、P₄、P₅…（如圖1所示）．過P₁、P₂、P₃分別作P₁H₁、P₂H₂、P₃H₃垂直于x軸，垂足為H₁、H₂、H₃，則S_△P1P2P3=S_{梯形P1H1H3P3}-S_{梯形P1H1H2P2}-S_{梯形P2H2H3P3}=

1

2

（9+1）×2-

1

2

（9+4）×1-

1

2

（4+1）×1，即△P₁P₂P₃的面積為1．”
問題：
（1）求四邊形P₁P₂P₃P₄和P₂P₃P₄P₅的面積（要求：寫出其中一個四邊形面積的求解過程，另一個直接寫出答案）；
（2）猜想四邊形P_n-1P_nP_n+1P_n+2的面積，并說明理由（利用圖2）；
（3）若將拋物線y=x²改為拋物線y=x²+bx+c，其它條件不變，猜想四邊形P_n-1P_nP_n+1P_n+2的面積（直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）作P₅H₅垂直于x軸，垂足為H₅，把四邊形P₁P₂P₃P₄和四邊形P₂P₃P₄P₅的轉(zhuǎn)化為S_P1P2P3P4=S_△OP1H1-S_△OP3H3-S_{梯形P2H2H3P3}-S_{梯形P1H1H2P2}和S_P2P3P4P5=S_{梯形P5H5H2P2}-S_△P5H5O-S_△OH3P3-S_{梯形P2H2H3P3}來求解；
（2）（3）由圖可知，P_n-1、P_n、P_n+1、P_n+2的橫坐標(biāo)為n-5，n-4，n-3，n-2，代入二次函數(shù)解析式，
可得P_n-1、P_n、P_n+1、P_n+2的縱坐標(biāo)為（n-5）²，（n-4）²，（n-3）²，（n-2）²，將四邊形面積轉(zhuǎn)化為S_{四邊形Pn-1PnPn+1Pn+2}=S_{梯形Pn-5Hn-5Hn-2Pn-2}-S_{梯形Pn-5Hn-5Hn-4Pn-4}-S_{梯形Pn-4Hn-4Hn-3Pn-3}-S_{梯形Pn-3Hn-3Hn-2Pn-2}來解答．

解答：解：（1）作P₅H₅垂直于x軸，垂足為H₅，
由圖可知S_P1P2P3P4=S_△OP1H1-S_△OP3H3-S_{梯形P2H2H3P3}-S_{梯形P1H1H2P2}=

9×3

2

-

1×1

2

-

1+4

2

-

4+9

2

=4，
S_P2P3P4P5=S_{梯形P5H5H2P2}-S_△P5H5O-S_△OH3P3-S_{梯形P2H2H3P3}=

3(1+4)

2

-

1×1

2

-

1×1

2

-

1+4

2

=4；

（2）作P_n-1H_n-1、P_nH_n、P_n+1H_n+1、P_n+2H_n+2垂直于x軸，垂足為H_n-1、H_n、H_n+1、H_n+2，
由圖可知P_n-1、P_n、P_n+1、P_n+2的橫坐標(biāo)為n-5，n-4，n-3，n-2，
代入二次函數(shù)解析式，可得P_n-1、P_n、P_n+1、P_n+2的縱坐標(biāo)為（n-5）²，（n-4）²，（n-3）²，（n-2）²，
四邊形P_n-1P_nP_n+1P_n+2的面積為S_{四邊形Pn-1PnPn+1Pn+2}=S_{梯形Pn-5Hn-5Hn-2Pn-2}-S_{梯形Pn-5Hn-5Hn-4Pn-4}-S_{梯形Pn-4Hn-4Hn-3Pn-3}-S_{梯形Pn-3Hn-3Hn-2Pn-2}=

3[(n-5)2+(n-2)2]

2

-

(n-5)2+(n-4)2

2

-

(n-4)2+(n-3)2

2

-

(n-3)2+(n-2)2

2

=4；

（3）S_{四邊形Pn-1PnPn+1Pn+2}=S_{梯形Pn-5Hn-5Hn-2Pn-2}-S_{梯形Pn-5Hn-5Hn-4Pn-4}-S_{梯形Pn-4Hn-4Hn-3Pn-3}-S_{梯形Pn-3Hn-3Hn-2Pn-2}=

3[(n-5)2+b(n-5)+c+(n-2)2+b(n-2)+c]

2

-

(n-5)2+b(n-5)+c+(n-4)2+b(n-4)+c

2

-

(n-4)2+b(n-4)+c+(n-3)2+b(n-3)+c

2

-

(n-3)2+b(n-3)+c+(n-2)2+b(n-2)+c

2

=4．

點評：此題是一道材料分析題，考查了根據(jù)函數(shù)坐標(biāo)特點求圖形面積的知識．
解答時要注意，前一小題為后面的題提供思路，由于計算量極大，要仔細(xì)計算，以免出錯，