Question

【題目】如圖所示，點(diǎn)D是等腰Rt△ABC的斜邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，作等腰Rt△ADE，使AD＝AE，且∠DAE＝90°連接BE、CE．

（1）判斷BD與CE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并進(jìn)行證明；

（2）當(dāng)四邊形ADCE的周長(zhǎng)最小值是6時(shí)，求BC的值．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE；理由見(jiàn)解析；（2）BC＝3．

【解析】

（1）利用SAS證出△ABD≌△ACE，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)論；

（2）根據(jù)周長(zhǎng)公式即可求出，四邊形ADCE的周長(zhǎng)=2AD+BC，其中BC為定值，四邊形ADCE的周長(zhǎng)最小，即AD最小，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)AD最小，則四邊形ADCE的周長(zhǎng)最小，根據(jù)三線合一和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得AD=BC，從而求出BC．

解：（1）BD＝CE，BD⊥CE；

理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD與△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，

∵∠ACB＝45°，

∴∠BCE＝90°，

∴BD⊥CE；

（2）∵四邊形ADCE的周長(zhǎng)=AD+AE+CE+CD=2AD+BD+CD=2AD+BC，其中BC為定值，

∴四邊形ADCE的周長(zhǎng)最小，即AD最小，

當(dāng)AD⊥BC時(shí)，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)AD最小，則四邊形ADCE的周長(zhǎng)最小，

∵△ABC為等腰三角形，AD⊥BC

∴AD=BC

∴此時(shí)四邊形ADCE的周長(zhǎng)= 2AD+BC=2×BC+BC=6

解得：BC＝3．