如圖,在平面直角坐標系中,直角梯形ABCO的邊OC落在x軸的正半軸上,且ABOC,BC⊥OC,AB=4,BC=6,OC=8.正方形ODEF的兩邊分別落在坐標軸上,且它的面積等于直角梯形ABCO面積.將正方形ODEF沿x軸的正半軸平行移動,設(shè)它與直角梯形ABCO的重疊部分面積為S.
(1)分析與計算:求正方形ODEF的邊長;
(2)操作與求解:
①正方形ODEF平行移動過程中,通過操作、觀察,試判斷S(S>0)的變化情況是______;
A、逐漸增大 B、逐漸減少 C、先增大后減少 D、先減少后增大
②當正方形ODEF頂點O移動到點C時,求S的值;
(3)探究與歸納:
設(shè)正方形ODEF的頂點O向右移動的距離為x,求重疊部分面積S與x的函數(shù)關(guān)系式.
(1)∵SODEF=SABCO=
1
2
(4+8)×6=36,(2分)
設(shè)正方形的邊長為x,
∴x2=36,x=6或x=-6(舍去).(2分)

(2)由圖形的移動可知,從OF出發(fā),重疊部分面積逐漸增大,
當OF和BC重合時面積最大,繼續(xù)移動時,面積將減。
故選C.(2分)
過點A作AGBC交x軸于G,所以AE=DG=EB-AB=6-4=2.當正方形ODEF頂點O移動到點C時,OD=OC-CD=8-6=2;
于是重疊部分的面積是S=S梯形AMDG+S矩形AGCB=
1
2
(3+6)×2+6×4=33.(3分)

(3)①當0≤x<4時,重疊部分為三角形,如圖①.
可得△OMO′△OAN,
MO′
6
=
x
4
,MO′=
3
2
x

∴S=
1
2
×
3
2
x•x=
3
4
x2.(1分)

②當4≤x<6時,重疊部分為直角梯形,如圖②.
S=(x-4+x)×6×
1
2
=6x-12.(1分)

③當6≤x<8時,重疊部分為五邊形,如圖③.
可得,點A坐標為(4,6),故OA的解析式為:y=
3
2
x,
∴MD=
3
2
(x-6),AF=x-4.
S=
1
2
×(x-4+x)×6-
1
2
×
3
2
(x-6)(x-6)
=-
3
4
x2+15x-39.(1分)

④當8≤x<10時,重疊部分為五邊形,如圖④.
S=SAFO'DM-SBFO′C=-
3
4
x2+15x-39-(x-8)×6
=-
3
4
x2+9x+9.(1分)

⑤當10≤x≤14時,重疊部分為矩形,如圖⑤.S=[6-(x-8)]×6=-6x+84.(1分)

(用其它方法求解正確,相應(yīng)給分).
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點,A點在原點的左側(cè),B點的坐標為(3,0),與y軸交于C(0,-3)點,點P是直線BC下方的拋物線上一動點.
(1)分別求出圖中直線和拋物線的函數(shù)表達式;
(2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點P,使四邊形POP′C為菱形?若存在,請求出此時點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,梯形OABC的頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上,AB⊥OA,二次函數(shù)
y=mx2-mx+2的圖象經(jīng)過A、B、C三點.
(1)求點A、B的坐標;
(2)當AC⊥OB時,求二次函數(shù)的解析式.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知以E(3,0)為圓心,以5為半徑的⊙E與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A,B,C三點,頂點為F.
(1)求A,B,C三點的坐標;
(2)求拋物線的解析式及頂點F的坐標;
(3)已知M為拋物線上一動點(不與C點重合),試探究:
①使得以A,B,M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等,求所有符合條件的點M的坐標;
②若探究①中的M點位于第四象限,連接M點與拋物線頂點F,試判斷直線MF與⊙E的位置關(guān)系,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,過點F(0,1)的直線y=kx+b與拋物線y=
1
4
x2交于M(x1,y1)和N(x2,y2)兩點(其中x1<0,x2>0).
(1)求b的值.
(2)求x1•x2的值.
(3)分別過M,N作直線l:y=-1的垂線,垂足分別是M1和N1.判斷△M1FN1的形狀,并證明你的結(jié)論.
(4)對于過點F的任意直線MN,是否存在一條定直線m(m是常數(shù)),使m與以MN為直徑的圓相切?如果有,請求出這條直線m的解析式;如果沒有,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系中,以點A(3,0)為圓心,以5為半徑的圓與x軸相交于點B、C,與y軸相交于點D、E.
(1)若拋物線y=
1
4
x2+bx+c
經(jīng)過C、D兩點,求此拋物線的解析式并判斷點B是否在此拋物線上.
(2)若在(1)中的拋物線的對稱軸有一點P,使得△PBD的周長最短,求點P的坐標.
(3)若點M為(1)中拋物線上一點,點N為其對稱軸上一點,是否存在以點B、C、M、N為頂點的平行四邊形?若存在,直接寫出點M、N的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖①,Rt△ABC中,∠B=90°,∠CAB=30度.它的頂點A的坐標為(10,0),頂點B的坐標為(5,5
3
)
,AB=10,點P從點A出發(fā),沿A→B→C的方向勻速運動,同時點Q從點D(0,2)出發(fā),沿y軸正方向以相同速度運動,當點P到達點C時,兩點同時停止運動,設(shè)運動的時間為t秒.
(1)求∠BAO的度數(shù).
(2)當點P在AB上運動時,△OPQ的面積S(平方單位)與時間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分,(如圖②),求點P的運動速度.
(3)求(2)中面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時點P的坐標.
(4)如果點P,Q保持(2)中的速度不變,那么點P沿AB邊運動時,∠OPQ的大小隨著時間t的增大而增大;沿著BC邊運動時,∠OPQ的大小隨著時間t的增大而減小,當點P沿這兩邊運動時,使∠OPQ=90°的點P有幾個?請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

下表給出了代數(shù)式x2+bx+c與x的一些對應(yīng)值:
x01234
x2+bx+c3-13
(1)求b,c的值;
(2)設(shè)y=x2+bx+c,當x取何值時,y隨x的增大而增大?
(3)函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過怎樣平移可得到函數(shù)y=x2的圖象?

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=-x2+mx過點A(4,0),O為坐標原點,Q是拋物線的頂點.
(1)求m的值;
(2)點P是x軸上方拋物線上的一個動點,過P作PH⊥x軸,H為垂足.有一個同學說:“在x軸上方拋物線上的所有點中,拋物線的頂點Q與x軸相距最遠,所以當點P運動至點Q時,折線P-H-O的長度最長”,請你用所學知識判斷:這個同學的說法是否正確.

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