Question

【題目】如圖，在等邊中，線段為邊上的中線．動點(diǎn)在直線上時，以為一邊在的下方作等邊，連結(jié)．

（1）求的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)在線段上時，求證：；

（3）當(dāng)動點(diǎn)在直線上時，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，試判斷是否為定值？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）證明見解析；（3）是定值，.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出，，，，由等式的性質(zhì)就可以，根據(jù)就可以得出；

（3）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上時，如圖1，由（2）可知，就可以求出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，如圖2，可以得出而有而得出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，如圖3，通過得出同樣可以得出結(jié)論．

（1）是等邊三角形，

．

線段為邊上的中線，

，

．

（2）與都是等邊三角形，

，，，

，

．

在和中

，

；

（3）是定值，，

理由如下：

①當(dāng)點(diǎn)在線段上時，如圖1，

由（2）可知，則，

又，

，

是等邊三角形，線段為邊上的中線

平分，即

．

②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，如圖2，

與都是等邊三角形，

，，，

，

，

在和中

，

，

，

同理可得：，

．

③當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，

與都是等邊三角形，

，，，

，

，

在和中

，

，

，

同理可得：

，

∵，

．

綜上，當(dāng)動點(diǎn)在直線上時，是定值，．