Question

【題目】圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓，用大圓的面積減去小圓的面積就是圓環(huán)的面積．

（1）如圖1，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)P，求證：AP=BP；

（2）若AB=2a，請用含有a的代數(shù)式表示圖1中的圓環(huán)面積；

（3）如圖2，若大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)，且AB=8，CD=6，則圓環(huán)的面積為 ____ ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）πa2（3）7π

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)以及垂徑定理即可證明．

（2）根據(jù)圓環(huán)的面積等于兩圓的面積差，再根據(jù)切線的性質(zhì)定理、勾股定理、垂徑定理求解．

（3）首先連接OA，OC，由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，繼而可得OA2﹣OC2=7，則可求得圓環(huán)的面積

試題解析：（1）證明：如圖1中，連接OP．

∵AB是小圓的切線，P是切點(diǎn)，

∴OP⊥AB，

∴PA=PB．

（2）解：如圖1中，連接OB．

∵大圓的弦AB是小圓的切線，

∴OP⊥AB，AP=PB，

∴OB2﹣OP2=（2a÷2）2=a2，

∵S圓環(huán)=S大﹣S小=πOB2﹣πOP2=π（OB2﹣OP2），

∴S圓環(huán)=πa2．

（3）解：如圖2中，連接OA，OC，作OE⊥AB于點(diǎn)E．

在Rt△AOE與Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，

∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，

∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2，

∵AB=8，CD=6，

∴AE=EB=4，CE=DE=3，

∴OA2﹣OC2=7，

∴圓環(huán)的面積為：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=7π．