Question

【題目】如圖 1，直線 y=2x+2 分別交 x 軸、y 軸于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為x軸正半軸上的點(diǎn)，點(diǎn) D從點(diǎn)C處出發(fā)，沿線段CB勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn) B 處停止，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn) C′是點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)，連接 EC′，若△ DEC′與△ BOC 的重疊部分面積為S，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），S與 t 的函數(shù)圖象如圖 2 所示．

（1）VD ,C 坐標(biāo)為 ；

（2）圖2中，m= ，n= ，k= .

（3）求出S與t 之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫自變量t的取值范圍）.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度為1單位長(zhǎng)度/秒，點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，0）．（2）；；．（3）①當(dāng)點(diǎn)C′在線段BC上時(shí)， S＝t2；②當(dāng)點(diǎn)C′在CB的延長(zhǎng)線上， S=t2＋t；③當(dāng)點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸， S＝t24t＋20．

【解析】

（1）根據(jù)直線的解析式先找出點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)合圖象可知當(dāng)t＝時(shí)，點(diǎn)C′與點(diǎn)B重合，通過三角形的面積公式可求出CE的長(zhǎng)度，結(jié)合勾股定理可得出OE的長(zhǎng)度，由OC＝OE＋EC可得出OC的長(zhǎng)度，即得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再由勾股定理得出BC的長(zhǎng)度，根據(jù)CD＝BC，結(jié)合速度＝路程÷時(shí)間即可得出結(jié)論；

（2）結(jié)合D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)以及面積S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象的拐點(diǎn)，即可得知當(dāng)“當(dāng)t＝k時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，當(dāng)t＝m時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)O重合”，結(jié)合∠C的正余弦值通過解直角三角形即可得出m、k的值，再由三角形的面積公式即可得出n的值；

（3）隨著D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，按△DEC′與△BOC的重疊部分形狀分三種情況考慮：①通過解直角三角形以及三角形的面積公式即可得出此種情況下S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；②由重合部分的面積＝S△CDES△BC′F，通過解直角三角形得出兩個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)，結(jié)合三角形的面積公式即可得出結(jié)論；③通過邊與邊的關(guān)系以及解直角三角形找出BD和DF的值，結(jié)合三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

（1）令x＝0，則y＝2，即點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），

∴OB＝2．

當(dāng)t＝時(shí)，B和C′點(diǎn)重合，如圖1所示，

此時(shí)S＝×CEOB＝，

∴CE＝，

∴BE＝．

∵OB＝2，

OE＝，

∴OC＝OE＋EC＝＋＝4，BC＝，CD＝，

÷＝1（單位長(zhǎng)度/秒），

∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度為1單位長(zhǎng)度/秒，點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，0）．

故答案為：1單位長(zhǎng)度/秒；（4，0）；

（2）根據(jù)圖象可知：

當(dāng)t＝k時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，

此時(shí)k＝＝2；

當(dāng)t＝m時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)O重合，如圖2所示．

sin∠C＝＝＝，cos∠C＝，

OD＝OCsin∠C＝4×＝，CD＝OCcos∠C＝4×＝．

∴m＝＝，n＝BDOD＝×（2）×＝．

故答案為：；；2．

（3）隨著D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，按△DEC′與△BOC的重疊部分形狀分三種情況考慮：

①當(dāng)點(diǎn)C′在線段BC上時(shí)，如圖3所示．

此時(shí)CD＝t，CC′＝2t，0＜CC′≤BC，

∴0＜t≤．

∵tan∠C＝，

∴DE＝CDtan∠C＝t，

此時(shí)S＝CDDE＝t2；

②當(dāng)點(diǎn)C′在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段OC上時(shí)，如圖4所示．

此時(shí)CD＝t，BC′＝2t2，DE＝CDtan∠C＝t，CE＝＝t，OE＝OCCE＝4t，

∵，即，

解得：＜t≤．

由（1）可知tan∠OEF＝＝，

∴OF＝OEtan∠OEF＝t，BF＝OBOF＝，

∴FM＝BFcos∠C＝．

此時(shí)S＝CDDEBC′FM＝；

③當(dāng)點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸，點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖5所示．

此時(shí)CD＝t，BD＝BCCD＝2t，CE＝t，DF＝，

∵，即，

∴＜t≤2．

此時(shí)S＝BDDF＝×2×(2t)2＝t24t＋20．

綜上，當(dāng)點(diǎn)C′在線段BC上時(shí)， S＝t2；當(dāng)點(diǎn)C′在CB的延長(zhǎng)線上， S=t2＋t；當(dāng)點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸， S＝t24t＋20．