Question

（2013•杭州一模）如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/秒的速度沿折線BE-ED-DC運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q以2cm/秒的速度沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，△BPQ的面積為ycm²．已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖；
（2）（其中曲線OG為拋物線的一部分，其余各部分均為線段），則下列結(jié)論：
①當(dāng)0＜t≤5時(shí)，y=

4

5

t²；②當(dāng)t=6秒時(shí)，△ABE≌△PQB；③cos∠CBE=

1

2

；④當(dāng)t=

29

2

秒時(shí)，△ABE∽△QBP；
其中正確的是（　　）

A．①②

B．①③④

C．③④

D．①②④

Answer 1

分析：根據(jù)圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為四段，①當(dāng)點(diǎn)P在BE上運(yùn)動，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)Q靜止于點(diǎn)C，從而得到BC、BE的長度；③點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q靜止于點(diǎn)C；④當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上，點(diǎn)Q仍然靜止于點(diǎn)C時(shí)．

解答：解：
根據(jù)圖（2）可得，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，
∵點(diǎn)P、Q的運(yùn)動的速度分別是1cm/秒、2cm/秒
∴BC=BE=10，
∴AD=BC=10．
又∵從M到N的變化是4，
∴ED=4，
∴AE=AD-ED=10-4=6．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴cos∠1=cos∠2=

AE

BE

=

6

10

=

3

5

．
故③錯(cuò)誤；
如圖1，過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴sin∠1=sin∠2=

AB

BE

=

8

10

=

4

5

，
∴PF=PB•sin∠1=

4

5

t，
∴當(dāng)0＜t≤5時(shí)，y=

1

2

BQ•PF=

1

2

×2t×

4

5

t=

4

5

t²，故①正確；
如圖3，當(dāng)t=6秒時(shí)，點(diǎn)P在BE上，點(diǎn)Q靜止于點(diǎn)C處．
在△ABE與△PQB中，

AE=BP=6 ∠1=∠2 BE=BC

，
∴△ABE≌△PQB（SAS）．
故②正確；
如圖4，當(dāng)t=

29

2

秒時(shí)，點(diǎn)P在CD上，此時(shí)，PD=

29

2

-BE-ED=

29

2

-10-4=

1

2

，
PQ=CD-PD=8-

1

2

=

15

2

，
∵

AB

AE

=

8

6

=

4

3

，

BQ

PQ

=

10

15 2

=

4

3

，
∴

AB

AE

=

BQ

PQ

又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是①②④．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖（2）判斷出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E用了10s，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C用了5s是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．