【題目】ABC中,∠BCA=90°,CD是邊AB上的中線,分別過點C,D作BA,BC的平行線交于點E,且DE交AC于點O,連接AE.

(1)求證:四邊形ADCE是菱形;

(2)若AC=2DE,求sin∠CDB的值.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】試題分析: 1)由DEBC,CEAB,可證得四邊形DBCE是平行四邊形,又由ABC中,∠BCA=90°,CD是邊AB上的中線,根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,可得CD=AD=BD=CE,然后由CEAB,證得四邊形ADCE平行四邊形的性質(zhì),繼而證得四邊形ADCE是菱形;

2)首先過點CCFAB于點F,由(1)可知,BC=DE,設(shè)BC=x,則AC=2x,然后由勾股定理求得AB,再由三角形的面積,求得CF的長,由勾股定理即可求得CD的長,繼而求得答案.

試題解析:

1DEBCECAB,

∴四邊形DBCE是平行四邊形.

ECDB,且EC=DB

RtABC中,CDAB邊上的中線,

AD=DB=CD

EC=AD

∴四邊形ADCE是平行四邊形.

EDBC

∴∠AOD=ACB

∵∠ACB=90°,

∴∠AOD=ACB=90°∴平行四邊形ADCE是菱形;

2)過點CCFAB于點F

由(1)可知,BC=DE,設(shè)BC=x,則AC=2x,

RtABC中,AB= , CD= AB= ,

因為 AB·CF= AC·BC,

所以CF= x,

sinCDB= =

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