Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，其中點，交y軸于點直線過點B與y軸交于點N，與拋物線的另一個交點是D，點P是直線BD下方的拋物線上一動點不與點B、D重合，過點P作y軸的平行線，交直線BD于點E，過點D作軸于點M．

求拋物線的表達式及點D的坐標；

若四邊形PEMN是平行四邊形？請求出點P的坐標；

過點P作于點F，設(shè)的周長為C，點P的橫坐標為a，求C與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出C的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P的坐標是和；（3）當時，C的最大值是15．

【解析】分析：

（1）將B、C兩點的坐標代入拋物線函數(shù)解析式，列出關(guān)于b、c的方程組，解方程組求得b、c的值即可求得拋物線的解析式；將點B的坐標代入直線 求得m的值，從而得到直線BD的解析式，把直線BD的解析式和拋物線的解析式組成方程組，解方程組即可求得點D的坐標；

（2）由題意結(jié)合（1）中所得結(jié)論易得MN的長度，由拋物線的解析式和BD的解析式表達出線段PE的長，結(jié)合題意可知，當PE=MN時，四邊形PEMN是平行四邊形，由此即可列出方程，解方程即可求得此時點P的坐標；

（3）由題意結(jié)合點D和點N的坐標易得△DMN的周長，結(jié)合（2）可把線段PE的長度用含“a”的代數(shù)式表達出來，再證△PEF∽△DNM，即可由相似三角形的性質(zhì)得到C與a間的函數(shù)關(guān)系式，并求出C的最大值了.

詳解：

（1）將點坐標代入函數(shù)解析式，得，

解得，

拋物線的解析式為．

∵直線過點，

∴，

解得，

直線的解析式為．

聯(lián)立直線與拋物線，得

∴，

解得舍，

∴；

（2）∵軸，

∴，

∴．

設(shè)P的坐標為的坐標則是

，

∵軸，要使四邊形PEMN是平行四邊形，必有，

即，解得，

當時， ，即，

當時， ，即，

綜上所述：點P的坐標是和；

（3）在中， ，

由勾股定理，得

，

的周長是24．

軸，

，

又，

∽，

，

由知，

，

，

，

C與a的函數(shù)關(guān)系式為，

當時，C的最大值是15．