Question

14．如圖1，Rt△ABC中，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)P'），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP'⊥AB時(shí)，點(diǎn)B、P、P'恰好在同一直線上，此時(shí)作P'E⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：∠CBP=∠ABP；
（2）若AB-BC=4，AC=8，求AE的長；
（3）當(dāng)∠ABC=60°，BC=2，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，在線段BP上確定點(diǎn)M，使MC+MN的值最小，利用圖2，作出點(diǎn)M，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AP=AP'，根據(jù)定義三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CP=DP，證明△APD≌△P′AE，得到AE=DP，根據(jù)勾股定理求出AB、BC，計(jì)算即可；
（3）根據(jù)最短路徑問題得到點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于BP對稱，連接DN交BP于M，確定點(diǎn)M，根據(jù)正弦的定義求出ND即可．

解答 解：（1）∵AP=AP'，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠BCA=∠BAP′=90°，
∴∠BCA-∠BPC=∠BAP′-∠AP′P，即∠CBP=∠ABP；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAD=∠AP′E}\\{∠ADP=∠P′EA}\\{AP=AP′}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP，
∵AB-BC=4，AC=8，
∴AB=10，BC=6，
∴AE=CP=3；
（3）由題意得，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于BP對稱，
連接DN交BP于M，則點(diǎn)M即為所求，
∵∠ABC=60°，BD=BC=2，
∴MN+MC=ND=BD•sin∠ABC=$\sqrt{3}$，
∴MC+MN的值最小值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、最短路徑問題，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正確確定點(diǎn)M的位置是解題的關(guān)鍵．