Question

已知：如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC=12cm，BD=16cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，直線EF從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點(diǎn)E，Q，F(xiàn)；當(dāng)直線EF停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．連接PF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APFD是平行四邊形？

（2）設(shè)四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此時(shí)P，E兩點(diǎn)間的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1） 當(dāng)t=s時(shí)，四邊形APFD是平行四邊形．（2）y=-+t+48．（3） cm.

【解析】

試題分析：（1））由四邊形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD．在Rt△AOB中，運(yùn)用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出．求出DF．由AP=DF．求出t．

（2）過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，由S菱形ABCD=ABCG=ACBD，求出CG．據(jù)S梯形APFD=（AP+DF）CG．S△EFD=EFQD．得出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，由S菱形ABCD=ABCG，求出CG，由S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，據(jù)線段關(guān)系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6， OB=OD=BD=8．

在Rt△AOB中，AB=10

∵EF⊥BD，

∴∠FQD=∠COD=90°．

又∵∠FDQ=∠CDO，

∴△DFQ∽△DCO．

∴．即

∴DF=

∵四邊形APFD是平行四邊形，

∴AP=DF．

即10-t=

解這個(gè)方程，得t=．

∴當(dāng)t=s時(shí)，四邊形APFD是平行四邊形．

（2）如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，

∵S菱形ABCD=ABCG=ACBD，

即10CG=×12×16，

∴CG=

∴S梯形APFD=（AP+DF）CG

=（10-t+）

=t+48．

∵△DFQ∽△DCO，

∴

即

∴QF=．

同理，EQ=

∴EF=QF+EQ=．

∴S△EFD=EFQD=××t=．

∴y=（t+48）-=-+t+48．

（3）如圖，過點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，PN⊥BD于點(diǎn)N，

若S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40，

則-+t+48=×96，

即5t2-8t-48=0，

解這個(gè)方程，得t1=4，t2=-（舍去）

過點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，PN⊥BD于點(diǎn)N，

當(dāng)t=4時(shí)，

∵△PBN∽△ABO，

∴

即

∴PN=，BN=

∴EM=EQ-MQ=3-=

PM=BD-BN-DQ=16--4=

在Rt△PME中，

PE=cm.

考點(diǎn)：1.四邊形綜合題；2.相似三角形的性質(zhì)．