Question

如圖,拋物線與x軸交于A、C兩點(diǎn),與y軸交于B點(diǎn)．

（1）求△AOB的外接圓的面積；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位沿射線AC方向運(yùn)動(dòng)；同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒0.5個(gè)單位沿射線BA方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C處時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．問當(dāng)t為何值時(shí),以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似？
（3）若M為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作MN平行于y軸交拋物線于點(diǎn)N．
問：是否存在這樣的點(diǎn)M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）25π；（2）t＝以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似；（3）不存在這樣的點(diǎn)M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形,理由見解析．

試題分析：(1)先求出A,B坐標(biāo),則△AOB的外接圓的半徑為AB,根據(jù)圓的面積公式求解即可；
（2）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式,求解即可；
（3）若四邊形OMNB為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出MN=OB=8,據(jù)此列出方程(x－8)－(x²－x－8)＝8,由判別式△＜0即可判斷出不存在這樣的點(diǎn)M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形．
試題解析：（1）∵,
∴當(dāng)y=0時(shí),=0,解得x=6或﹣8,
∴A（6,0）,B（0,－8）
∴OA＝6,OB＝8,∴AB＝10
∴S＝π·(5)²＝25π．
（2）AP＝t,AQ＝10－0.5t,易求AC=8,∴0≤t≤8
若△APQ∽△AOB,則．∴t＝．
若△AQP∽△AOB,則．∴t＝＞8（舍去,）．
∴當(dāng)t＝時(shí),以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似．
（3）直線AB的函數(shù)關(guān)系式為 ．
∵M(jìn)N∥y軸
∴設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x,則M（x,x－8）,N（x,x²－x－8）．
若四邊形OMNB為平行四邊形,則MN＝OB＝8
∴(x－8)－(x²－x－8)＝8
即x²－6x＋12＝0
∵△＜0,∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根,
∴不存在這樣的點(diǎn)M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形．