Question

【題目】在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1 ， 設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0<α≤180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P．

（1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，線段BD1的長等于 ， 線段CE1的長等于；（直接填寫結(jié)果）
（2）如圖2，當(dāng)α=135°時(shí)，求證：BD1= CE1 ， 且BD1⊥CE1；
（3）①設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則線段PM的長為；②點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為 ． （直接填寫結(jié)果）

Answer 1

【答案】
（1）2 ；2
（2）

證明：當(dāng)α=135°時(shí)，如圖2，

∵Rt△AD1E是由Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到，

∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，

在△D1AB和△E1AC中

∵

∴△D1AB≌△E1AC（SAS），

∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，

記直線BD1與AC交于點(diǎn)F，

∴∠BFA=∠CFP，

∴∠CPF=∠FAB=90°，

∴BD1⊥CE1；

（3）2 ；1+
【解析】解：（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，
∴AE=AD=2，
∵等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1 ， 設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），
∴當(dāng)α=90°時(shí)，AE1=2，∠E1AE=90°，
∴BD1= =2 ，E1C= =2 ；
所以答案是：2 ，2 ；
3）解：①如圖2，

∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中點(diǎn)為M，
∴PM= BC，
∴PM= =2 ，
所以答案是：2 ；
②如圖3，作PG⊥AB，交AB所在直線于點(diǎn)G，

∵D1 ， E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，
當(dāng)BD1所在直線與⊙A相切時(shí)，直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大，
此時(shí)四邊形AD1PE1是正方形，PD1=2，則BD1= =2 ，
故∠ABP=30°，
則PB=2+2 ，
故點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為：PG=1+ ．
所以答案是：1+ ．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．