Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+c（a≠0）過點(diǎn)A（-6，0）和點(diǎn)B（2，8），線段AB交y軸于點(diǎn)C．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交拋物線y=ax²+c于點(diǎn)N，求線段MN的長度的最大值；
（3）設(shè)拋物線y=ax²+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接CE．過點(diǎn)O作CE的平行線l．在直線l上是否存在點(diǎn)P，在y軸右側(cè)的拋物線y=ax²+c上是否存在點(diǎn)Q，使得四邊形COPQ為直角梯形？若存在，請(qǐng)求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A（-6，0）、B（2，8），代入y=ax²+c（a≠0），求出二次函數(shù)解析式即可求出；
（2）首先求出直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，y₁），因?yàn)辄c(diǎn)M在線段AB上，得出y₁=m+6，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（m，y₂），得出
y₂的關(guān)系式，相減，利用二次函數(shù)的最值求出即可；
（3）根據(jù)直角梯形的判定方法，分別由①若CQ∥OP，②CO∥PQ，進(jìn)行分析得出．

解答：解：（1）因?yàn)閽佄锞�y=ax²+c（a≠0）過點(diǎn)A（-6，0）、B（2，8），
所以

(-6)2•a+c=0 22•a+c=8.

解這個(gè)方程組，
得

a=- 1 4 c=9.

所以拋物線的解析式為：y=-

1

4

x2+9；

（2）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），
因?yàn)锳、B坐標(biāo)分別為A（-6，0），B（2，8），
所以

-6k+b=0 2k+b=8.

解這個(gè)方程組，得

k=1 b=6.

所以直線AB的解析式為：y=x+6．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，y₁）（-6≤m≤2），因?yàn)辄c(diǎn)M在線段AB上，所以y₁=m+6．
因?yàn)镸N⊥x軸，我們可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（m，y₂）．
因?yàn)辄c(diǎn)N在拋物線上，所以y2=-

1

4

m2+9．
因?yàn)辄c(diǎn)N在點(diǎn)M的上方，
所以MN=y₂-y₁=(-

1

4

m2+9)-(m+6)=-

1

4

m2-m+3．
即MN=-

1

4

(m+2)2+4．
所以當(dāng)m=-2時(shí)，MN長度的最大值為4．

（3）存在．理由如下：
要使四邊形COPQ為直角梯形，則四邊形COPQ
首先必須為梯形，即需滿足CQ∥OP或CO∥PQ．
①若CQ∥OP，
因?yàn)镺、P兩點(diǎn)在直線l上，即有CQ∥l．
又因CE∥l，所以點(diǎn)Q在直線CE上．
因?yàn)辄c(diǎn)Q又在拋物線y=-

1

4

x2+9上，
所以點(diǎn)Q是直線CE與拋物線y=-

1

4

x2+9的交點(diǎn)．
由已知E是直線CE與拋物線y=-

1

4

x2+9的交點(diǎn)，
所以E就是滿足條件的一個(gè)Q₁點(diǎn)．
在y=-

1

4

x2+9中，令y=0，即-

1

4

x2+9=0，解得x₁=6，x₂=-6（舍去）．
所以E（6，0），即Q₁（6，0）．因?yàn)橹本�CE與拋物線y=-

1

4

x2+9的另一個(gè)交點(diǎn)在第二象限，故舍去．
過點(diǎn)Q₁（6，0）作Q₁P₁⊥l，垂足為P₁點(diǎn)，過點(diǎn)P₁作P₁F⊥x軸，垂足為F．
在直線y=x+6中，令x=0，得y=6．即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）．
在Rt△COQ₁中，因?yàn)镺C=OQ₁=6，所以∠CQ₁O=45°．
因?yàn)镃Q₁∥l，所以∠Q₁OP₁=∠CQ₁O=45°．
所以△OP₁Q₁是等腰直角三角形．
所以OF=

1

2

OQ1=3，P1F=

1

2

OQ1=3，所以P₁點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，-3）．
②CO∥PQ，
因?yàn)橹本�l與直線OC不垂直，所以點(diǎn)C必為直角頂點(diǎn)．CQ⊥y軸．
因?yàn)辄c(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6），我們可設(shè)Q（n，6），
因?yàn)辄c(diǎn)Q在拋物線y=-

1

4

x2+9上，
所以6=-

1

4

n2+9，
解得：n1=2

3

，n2=-2

3

（舍去）．
得Q₂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2

3

，6)．
設(shè)P₂Q₂（點(diǎn)P₂在直線l上），交x軸于點(diǎn)G，則OG=CQ2=2

3

．
在Rt△OGP₂中，∠EOP₂=45°，P2G=OG=2

3

，
所以點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為(2

3

，-2

3

)．
綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，坐標(biāo)分別是：
P₁（3，-3），Q₁（6，0）或P2(2

3

，-2

3

)，Q2(2

3

，6)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的最值以及待定系數(shù)法求解析式和梯形的判定方法等知識(shí)，此題綜合性比較強(qiáng)，用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問題要全面，做到不重不漏．