Question

14．如圖，在△ABC中，D是AC上一點，AB²=AD•AC，∠CBD的平分線交AC于點E．求證：AB=AE．

Answer 1

分析 利用比例性質由AB²=AD•AC得出$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$，然后加上公共角，證明△ADB∽△ABC，得出∠ABD=∠C，再由角平分線的定義和三角形的外角性質證出∠ABE=∠AEB，得出AB=AE即可．

解答 證明：∵AB²=AD•AC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴∠ABD=∠C，
∵AC平分∠CBD，
∴∠DBE=∠CBE，
∵∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠AEB=∠CBE+∠C，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、三角形的外角性質、等腰三角形的判定；證明三角形相似是解決問題的關鍵．