Question

【題目】如圖，在ABCD中，AB⊥AC，以點A為圓心，AB為半徑的圓交BC于點E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）如果BE=4，CE=2，求DE的值．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD，BC=AD，AB∥CD，∠B=∠ADC，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，AE=DC，
∴∠DAE=∠ADC，
在△AED和△DCA中，
，
∴△AED≌△DCA（SAS），
∴∠AED=∠DCA=90°，
∴AE⊥DE，
∴DE為⊙O的切線；
（2）解：作AH⊥BE，如圖，
則BH=CH=BE=2，
∵∠ABH=∠CBA，
∴Rt△BAH∽Rt△BCA，
∴，即，
∴AB=，
∴AE=，
在Rt△AED中，∵AD=BC=6，AE=，
∴DE==．

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，BC=AD，AB∥CD，∠B=∠ADC，由AB⊥AC得到AC⊥CD，由AD∥BC得到∠AEB=∠DAE，而AB=AE，所以∠B=∠AEB，AE=DC，∠DAE=∠ADC，于是可證明△AED≌△DCA，得到∠AED=∠DCA=90°，則可根據(jù)切線的判定定理得到DE為⊙O的切線；
（2）作AH⊥BE，如圖，根據(jù)垂徑定理得BH=CH=BE=2，再證明Rt△BAH∽Rt△BCA，利用相似比計算出AB=2 ， 然后在Rt△AED中利用勾股定理計算DE的長．
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的性質(zhì)和切線的判定定理，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．