Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2tx﹣t+1（是常數(shù)）．

（1）求此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（用含t的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x的增大而減小，求t的取值范圍．

（3）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，該函數(shù)有最大值4，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t2﹣t+1）；（2）t≤2；（3）t＝﹣3或4．

【解析】

（1）把二次函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式即可得到答案；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，開(kāi)口向下時(shí)，對(duì)稱軸右邊y隨x的增大而減小即可得到答案；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，開(kāi)口向下時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最大值，分情況討論即可得到答案；

（1）∵y＝﹣x2+2tx﹣t+1＝﹣（x﹣t）2+t2﹣t+1，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t2﹣t+1）；

（2）∵y＝﹣x2+2tx﹣t+1＝﹣（x﹣t）2+t2﹣t+1，

∴拋物線開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸x＝t的右邊y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x≥t時(shí)，y隨x的增大而減小，

∵當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x的增大而減小，

∴t≤2；

（3）∵當(dāng)0≤x≤1時(shí)，該函數(shù)有最大值4，

∴①若t＜0，則當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣t+1＝4，

解得，t＝﹣3；

②若0≤t≤1，則t2﹣t+1＝4，

解得，t＝ （舍）；

③若t＞1，則當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1+2t﹣t+1＝4，

解得，t＝4．

綜上，t＝﹣3或4．