Question

如圖，一次函數y=kx+b的圖象經過第一、二、三象限，且與反比例函數圖象相交于A，B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D，OB=

5

．且點B橫坐標是點B縱坐標的2倍．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）設點A橫坐標為m，△ABO面積為S，求S與m的函數關系式，并求出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據點B的橫坐標是點B的縱坐標的2倍，且OB=

5

，結合勾股定理，即可求出B點的坐標，從而求出反比例解析式；
（2）在（1）的基礎上，當A點的橫坐標已知的情況下，A點的縱坐標也可求出，把A、B的坐標代入一次函數解析式中，利用待定系數法，可求出解析式，從而可求出直線與坐標軸的交點．
再進一步利用求和的方法，求三角形ABO的面積時，可列出等量關系，從而得出函數解析式．

解答：解：（1）設點B的縱坐標為t，則點B的橫坐標為2t．
根據題意，得（2t）²+t²=（

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）²，
∵t＜0，
∴t=-1．
∴點B的坐標為（-2，-1）．
設反比例函數為y=

k1

x

，得
k₁=（-2）×（-1）=2，
∴反比例函數解析式為y=

2

x

．

（2）設點A的坐標為（m，

2

m

）．
根據直線AB為y=kx+b，可以把點A，B的坐標代入，
得

-2k+b=-1 mk+b= 2 m

，解得

k= 1 m b= 2-m m

．
∴直線AB為y=

1

m

x+

2-m

m

．
當y=0時，

1

m

x+

2-m

m

=0，
∴x=m-2，
∴點D坐標為（m-2，0）．
∵S_△ABO=S_△AOD+S_△BOD，
∴S=

1

2

×|m-2|×|

2

m

|+

1

2

×|m-2|×1，
∵m-2＜0，

2

m

＞0，
∴S=

2-m

m

+

2-m

2

，
∴S=

4-m2

2m

．
且自變量m的取值范圍是0＜m＜2．

點評：此題考查了勾股定理、待定系數法以及數形結合思想，難易程度適中．