Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y1=ax2+bx過（﹣2，4），（﹣4，4）兩點．
（1）求二次函數(shù)y1的解析式；
（2）將y1沿x軸翻折，再向右平移2個單位，得到拋物線y2 ， 直線y=m（m＞0）交y2于M、N兩點，求線段MN的長度（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）的條件下，y1、y2交于A、B兩點，如果直線y=m與y1、y2的圖象形成的封閉曲線交于C、D兩點（C在左側），直線y=﹣m與y1、y2的圖象形成的封閉曲線交于E、F兩點（E在左側），求證：四邊形CEFD是平行四邊形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數(shù)y1=ax2+bx過（﹣2，4），（﹣4，4）兩點，

∴ 解得 ，

∴二次函數(shù)y1的解析式y(tǒng)1=﹣ x2﹣3x

（2）

解：∵y1=﹣ （x+3）2+ ，

∴頂點坐標（﹣3， ），

∵將y1沿x軸翻折，再向右平移2個單位，得到拋物線y2，

∴拋物線y2的頂點坐標（﹣1，﹣ ），

∴拋物線y2為y= （x+1）2﹣ ，

由 消去y整理得到x2+2x﹣8﹣2m=0，設x1，x2是它的兩個根，

則MN=|x1﹣x2|= =

（3）

解：由 消去y整理得到x2+6x+2m=0，設兩個根為x1，x2，

則CD=|x1﹣x2|= = ，

由 消去y得到x2+2x﹣8+2m=0，設兩個根為x1，x2，

則EF=|x1﹣x2|= = ，

∴EF=CD，EF∥CD，

∴四邊形CEFD是平行四邊形．

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）先求出拋物線y2的頂點坐標，再求出其解析式，利用方程組以及根與系數(shù)關系即可求出MN；
（3）用類似（2）的方法，分別求出CD、EF即可解決問題．本題考查二次函數(shù)綜合題、根與系數(shù)關系、平行四邊形的判定等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，記住公式|x1﹣x2|= ，屬于中考壓軸題．
【考點精析】掌握平行四邊形的判定是解答本題的根本，需要知道兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．