Question

【題目】如圖，直線交軸于A點(diǎn)，交軸于B點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3,0）.

⑴求拋物線的解析式;

⑵在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）此拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；

（2）Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．

【解析】

（1）根據(jù)直線的解析式y=3x+3，當(dāng)x=0和y=0時(shí)就可以求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式；
（2）將拋物線化為頂點(diǎn)式，求出對(duì)稱軸對(duì)稱軸，設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，利用等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式就可以求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

(1)∵y=3x+3，

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（0，3）．

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由題意，得

，

解得

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3

(2)∵y=﹣x2+2x+3，

∴y=﹣（x﹣1）2+4

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，設(shè)Q（1，a），

①當(dāng)AQ=BQ時(shí)，如圖，

由勾股定理可得

BQ=，

AQ=

得，

解得a=1，

∴Q（1，1）；

②如圖：

當(dāng)AB是腰時(shí)，Q是對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)時(shí)，AB=BQ，

∴

解得：a=0或6，

當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，6）時(shí)，其在直線AB上，A、B和Q三點(diǎn)共線，舍去，

則此時(shí)Q的坐標(biāo)是（1，0）；

③當(dāng)AQ=AB時(shí)，如圖：

，解得a=±，則Q的坐標(biāo)是（1，）和（1，﹣）．

綜上所述：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），（1，0），（1，），（1，﹣）．