Question

【題目】我們學(xué)習(xí)了“圓心角、弧、弦的關(guān)系”，實(shí)際上我們還可以得到“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系”如下：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距(弦心距指從圓心到弦的距離，如圖1中的OC、OC′，弦心距也可以說成圓心到弦的垂線段的長(zhǎng)度)中有一組量相等，那么它們對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等．請(qǐng)直接運(yùn)用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系解答下列問題：

如圖2，O是∠EPF的平分線上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心的圓與角的兩邊分別交于點(diǎn)A、B、C、D.

(1)求證：AB＝CD；

(2)若角的頂點(diǎn)P在圓上，上述結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說明理由；若成立，請(qǐng)加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）上述結(jié)論成立．

【解析】試題分析：（1）過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出ON=OM，再根據(jù)題中定義即可得出答案；（2）方法同（1）．

解：(1)過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，則∠OMB＝∠OND＝90°.

又∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.

∵OM、ON分別是弦AB、CD的弦心距，

∴AB＝CD.

(2)上述結(jié)論成立．

當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上時(shí)，由(1)知OM＝ON，

∵OM、ON分別是弦PB、PD的弦心距，

∴PB＝PD，即AB＝CD.