Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于，點，與軸交于點，拋物線的頂點為，連接．

（1）求此拋物線的表達式；

（2）在拋物線上找一點，使得與垂直，且直線與軸交于點，求點的坐標；

（3）拋物線對稱軸上是否存在一點，使得，若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）存在；或

【解析】

（1）利用交點式將拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，代入y=a（x-x1）（x-x2），求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的長度，得出Q點的坐標，再求出直線QC的解析式，將兩函數(shù)聯(lián)立求出交點坐標即可；
（3）首先求出二次函數(shù)頂點坐標，由S四邊形AEPC=S四邊形OEPC+S△AOC以及S四邊形AEPC=S△AEP+S△ACP，得出使得S△MAP=3S△ACP的點M的坐標．

解：（1）設此拋物線的表達式為

拋物線與軸交于點

拋物線與軸交于，兩點

解得

此拋物線的表達式為

（2），，

，

，

軸，

，，

，

即

又點在軸的正半軸上，

設直線的表達式為

則

解得

直線的表達式為：

點是拋物線與直線的交點

解得，（不合題意舍去）

此時

（3）對稱軸；

此時

點在直線上，

設，連接、、

直線與軸交于點，

，

則

又

，

，

，，．

故對稱軸上存在點使，點的坐標為或．

【點晴】

本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點，也是難點．