Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E為AB邊上一點(diǎn)，過E作EG⊥BC于點(diǎn)G，交對(duì)角線BD于點(diǎn)F．

（1）如圖（1），若∠ACE＝15°，BC＝6，求EF的長；

（2）如圖（2），H為CE的中點(diǎn)，連接AF，FH，求證：AF＝2FH．

Answer 1

【答案】（1）EF＝4﹣；（2）見解析

【解析】

（1）首先證明EG＝CG，設(shè)BG＝x，則EG＝CG＝x，根據(jù)BC＝4，構(gòu)建方程求出x，證明EF＝BF，求出BF即可解決問題．

（2）如圖2，作CM⊥BC交FH的延長線于M，連接AM，AH．利用全等三角形的性質(zhì)證明△FAM是等邊三角形即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，

∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵∠ACE＝15°，

∴∠ECG＝∠ACB﹣∠ACE＝45°，

∵EG⊥CG，

∴∠EGC＝90°，

∴EG＝CG，

設(shè)BG＝x，則EG＝CG＝x，

∴x+x＝4，

∴x＝2﹣2，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠FBG＝∠EBF＝30°，

∵∠BEG＝30°，

∴FB＝FE，

∵BF＝＝＝4﹣，

∴EF＝4﹣．

（2）如圖2，作CM⊥BC交FH的延長線于M，連接AM，AH．

∵EG⊥BC，MC⊥BC，

∴EF∥CM，

∴∠FEH＝∠HCM，

∵∠EHF＝∠CHM，EH＝CH，

∴△EFH≌△CMH（ASA），

∴EF＝CM，FH＝HM，

∵EF＝BF，

∴BF＝CM，

∵∠ABF＝∠ACM＝30°，BA＝CA，

∴△BAF≌△CAM（SAS），

∴AF＝AM，∠BAF＝∠CAM，

∴∠FAM＝∠BAC＝60°，

∴△FAM是等邊三角形，

∵FH＝HM，

∴AH⊥FM，∠FAH＝∠FAM＝×60°＝30°，

∴AF＝2FH．