Question

已知直線y=﹣x+6，交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x²+mx+n經(jīng)過A點(diǎn)，且與直線y=﹣x+6交于另一點(diǎn)P．

（1）若P與B點(diǎn)重合，求拋物線的解析式；

（2）若P在第一象限，過PE⊥x軸于E點(diǎn)，PF⊥y軸于F點(diǎn)，當(dāng)四邊形PEOF面積為5，求拋物線的解析式；

（3）若△OAP為等腰三角形，求m的值．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）分別令x、y=0，可求出B、A點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

（2）由四邊形PEOF面積為5可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合A點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求得結(jié)論；

（3）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式表示出△OAP的三條邊，再分類討論相鄰兩邊相等得出結(jié)論．

【解答】解：（1）令x=0，則y=6；

令y=0，則﹣x+6=0，解得：x=6．

故A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）．

∵P與B點(diǎn)重合，

∴有，解得：．

故當(dāng)P與B點(diǎn)重合，拋物線的解析式為y=x²﹣7x+6．

（2）結(jié)合題意畫出圖形，如圖1所示．

∵點(diǎn)P在線段AB上，

∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，﹣a+6）（0＜m＜6），則有PE=6﹣m，PF=m．

四邊形PEOF面積=PE•PF=（6﹣a）×a=5，

解得：a=1，或a=5，

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，5）或（5，1）．

當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，5）時(shí)，有，

解得：，

此時(shí)拋物線的解析式為y=x²﹣8x+12；

當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，1）時(shí)，有，

解得：，

此時(shí)拋物線的解析式為y=x²﹣12x+36．

綜上可知，拋物線的解析式為y=x²﹣8x+12或者y=x²﹣12x+36．

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（b，6﹣b）．

∵點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（6，0），

∴OP=，OA=6﹣0=6，PA=．

∵△OAP為等腰三角形，

∴分三種情況考慮．

①當(dāng)OP=OA時(shí)，有=6，

解得：b=0，或b=6（舍去），

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6）．

同（1）一樣，故m=﹣7；

②當(dāng)OP=PA，即=，

解得：b=3，

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3）．

將P（3，3），A（6，0）代入拋物線解析式，得：

，解得m=﹣10；

③當(dāng)OA=PA時(shí)，有6=，

解得：b=6±3，

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（6+3，﹣3）或（6﹣3，3）．

將P（6+3，﹣3），A（6，0）代入拋物線解析式，得：

，解得m=﹣3﹣13；

將P（6﹣3，3），A（6，0）代入拋物線解析式，得：

，解得m=3﹣13．

綜上可知：當(dāng)△OAP為等腰三角形，m的值為﹣7，﹣10，﹣3﹣13和3﹣13．

【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、長方形的面積公式、兩點(diǎn)間的距離公式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用長方形的面積找出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）由兩點(diǎn)間的距離公式分類討論相鄰兩邊相等的情況．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大，（3）難度也不大，單運(yùn)算過程很繁瑣，這就需要極大的耐心一步步運(yùn)算．