Question

如圖，在平臺(tái)上用直徑為100mm的兩根圓鋼棒嵌在大型工件的兩側(cè)，測量大的圓形工件的直徑，設(shè)兩圓鋼棒的外側(cè)的距離為xmm，工件的直徑為Dmm．
（1）求出D（mm）與x（mm）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)圖形工件的直徑D小于圓鋼棒的直徑時(shí)，上面所求得的D與x的函數(shù)關(guān)系式還是否仍然適用？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相切兩圓的性質(zhì),勾股定理,切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）設(shè)三圓的圓心分別為A、B、C，連接AB，則AB過切點(diǎn)E，連接AC，則AC過切點(diǎn)F，連接BC，AN，AN交BC于M，由題意得出AB=AC=50+

D

2

，BC=x-（50+50）=x-100，AN=

D

2

-50，在△ABM中根據(jù)勾股定理得出D和x的方程，求出即可；
（2）根據(jù)（1）結(jié)合圖形仍能得出函數(shù)解析式，即可得出答案．

解答：（1）解：
如圖設(shè)三圓的圓心分別為A、B、C，連接AB，則AB過切點(diǎn)E，連接AC，則AC過切點(diǎn)F，連接BC，AN，AN交BC于M，
由題意得：AB=AC=50+

D

2

，BC=x-（50+50）=x-100，AN=

D

2

-50，
∵AC=AB，AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

（x-100）=

1

2

x-50，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB²=AM²+BM²，
∴(50+

D

2

)2=(

D

2

-50)2+(

1

2

x-50)2，
即D=

1

400

x²-

1

2

x+25．

（2）解：當(dāng)圖形工件的直徑D小于圓鋼棒的直徑時(shí)，上面所求得的D與x的函數(shù)關(guān)系式能仍然適用，
因?yàn)槟菢訒r(shí)，三圓同時(shí)與平臺(tái)相切，有兩大圓都與小圓相切時(shí)，得出的方程與（1）中的方程相同，
所有上面所求得的D與x的函數(shù)關(guān)系式能仍然適用．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相切兩圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能根據(jù)題意得出方程是解此題的關(guān)鍵，主要考查學(xué)生的觀察能力和構(gòu)造直角三角形的能力，題目比較典型，有一定的難度．