Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過O點(diǎn)作射線OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為度；
（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由；
（3）在上述直角三角板從圖1旋轉(zhuǎn)到圖3的位置的過程中，若三角板繞點(diǎn)O按15°每秒的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角三角板的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時，求此時三角板繞點(diǎn)O的運(yùn)動時間t的值．

Answer 1

【答案】
（1）90
（2）解：如圖3，∠AOM﹣∠NOC=30°．

設(shè)∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得

∠BOC=2α．

∵∠AOC+∠BOC=180°，

∴α+2α=180°．

解得 α=60°．

即∠AOC=60°．

∴∠AON+∠NOC=60°．①

∵∠MON=90°，

∴∠AOM+∠AON=90°．②

由②﹣①，得∠AOM﹣∠NOC=30°

（3）解：（�。┤鐖D4，當(dāng)直角邊ON在∠AOC外部時，

由OD平分∠AOC，可得∠BON=30°．

因此三角板繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)60°．

此時三角板的運(yùn)動時間為：

t=60°÷15°=4（秒）．

（ⅱ）如圖5，當(dāng)直角邊ON在∠AOC內(nèi)部時，

由ON平分∠AOC，可得∠CON=30°．

因此三角板繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)240°．

此時三角板的運(yùn)動時間為：

t=240°÷15°=16（秒）

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，旋轉(zhuǎn)角是∠MON；（2）如圖3，利用平角的定義，結(jié)合已知條件“∠AOC：∠BOC=1：2”求得∠AOC=60°；然后由直角的性質(zhì)、圖中角與角間的數(shù)量關(guān)系推知∠AOM﹣∠NOC=30°；（3）需要分類討論：（�。┊�(dāng)直角邊ON在∠AOC外部時，旋轉(zhuǎn)角是60°；（ⅱ）當(dāng)直角邊ON在∠AOC內(nèi)部時，旋轉(zhuǎn)角是240°．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解角的運(yùn)算的相關(guān)知識，掌握角之間可以進(jìn)行加減運(yùn)算；一個角可以用其他角的和或差來表示，以及對旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的理解，了解①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．