Question

如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”．如4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此，4，12，20都是“和諧數(shù)”．
（1）36和2020這兩個數(shù)是“和諧數(shù)”嗎？為什么？
（2）請你說明“和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用36=10²-8²；2020=506²-504²說明36和2020這兩個數(shù)是“和諧數(shù)”；
（2）設兩個連續(xù)偶數(shù)為2n，2n+2（n為自然數(shù)），則“和諧數(shù)”=（2n+2）²-（2n）²，利用平方差公式展開得到（2n+2+2n）（2n+2-2n）=4（2n+1），然后利用整除性可說明“和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)．

解答：解：（1）36和2020這兩個數(shù)是“和諧數(shù)”．理由如下：
36=10²-8²；2020=506²-504²；
（2）設兩個連續(xù)偶數(shù)為2n，2n+2（n為自然數(shù)），
∵（2n+2）²-（2n）²=（2n+2+2n）（2n+2-2n）
=（4n+2）×2
=4（2n+1），
∵4（2n+1）能被4整除，
∴“和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)．

點評：本題考查了因式分解的應用：利用因式分解把所求的代數(shù)式進行變形，從而達到使計算簡化．