Question

13．有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)：
第一個(gè)數(shù)是$\frac{1}{1×2}$；
第二個(gè)數(shù)是$\frac{1}{2×3}$；
第三個(gè)數(shù)是$\frac{1}{3×4}$；
…
（1）經(jīng)過(guò)探究，我們發(fā)現(xiàn)：$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，設(shè)這列數(shù)的第5個(gè)數(shù)為a，那么a＞$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$，a=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$，a＜$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$，哪個(gè)正確？請(qǐng)你直接寫(xiě)出正確的結(jié)論：
（2）計(jì)算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$；
（3）設(shè)M=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{201{7}^{2}}$，求證：$\frac{504}{1009}$＜M＜$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以判斷哪個(gè)結(jié)論正確；
（2）根據(jù)題意可以計(jì)算出所求式子的結(jié)果；
（3）根據(jù)題意可以利用前面的結(jié)論證明結(jié)論成立．

解答 解：（1）由題意可得，
第5個(gè)數(shù)為a=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$正確；
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$；
（3）證明：∵$\frac{1}{2×3}＜\frac{1}{{2}^{2}}＜\frac{1}{1×2}$，
$\frac{1}{3×4}＜\frac{1}{{3}^{2}}＜\frac{1}{2×3}$，
…
$\frac{1}{2017×2018}＜\frac{1}{201{7}^{2}}＜\frac{1}{2017×2016}$，
∴$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2017×2018}＜M＜$$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{2016×2017}$，
∴$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}＜M＜$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$，
∴$\frac{1}{2}-\frac{1}{2018}＜M＜1-\frac{1}{2017}$，
∴$\frac{504}{1009}＜M＜\frac{2016}{2017}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分式的混合運(yùn)算、數(shù)字的變化類(lèi)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．