Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)O作弦BC的平行線(xiàn)，交過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)AP于點(diǎn)P，連接AC．
（1）求證：△ABC∽△POA；
（2）若OB=2，OP=

7

2

，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由BC∥OP可得∠AOP=∠B，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可知∠C=90°，再根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)知∠OAP=90°，從而可證△ABC∽△POA；
（2）根據(jù)△ABC∽△POA，和已知邊的長(zhǎng)可將BC的長(zhǎng)求出．

解答：（1）證明：∵BC∥OP
∴∠AOP=∠B
∵AB是直徑
∴∠C=90°
∵PA是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A
∴∠OAP=90°
∴∠C=∠OAP
∴△ABC∽△POA；

（2）解：∵△ABC∽△POA
∴

BC

OA

=

AB

PO

∵OB=2，PO=

7

2

∴OA=2，AB=4
∴

BC

2

=

4

7 2

∴

7

2

BC=8
∴BC=

16

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、切線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)．