Question

【題目】如圖．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，點(diǎn)P在AB上，AP=10cm，點(diǎn)E從點(diǎn)P出發(fā)沿線段PA以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)沿線段PB以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜20）．

（1）當(dāng)點(diǎn)H落在AC邊上時(shí)，求t的值；

（2）設(shè)正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S．①試求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；②以點(diǎn)C為圓心，t為半徑作⊙C，當(dāng)⊙C與GH所在的直線相切時(shí)，求此時(shí)S的值．

Answer 1

【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=；②100cm2．

【解析】試題分析：（1）如圖1中，當(dāng)0＜t≤5時(shí)，由題意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如圖2中，當(dāng)5＜t＜20時(shí)，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；

（2）分四種切線討論a、如圖3中，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如圖4中，當(dāng)2＜t≤5時(shí)，重疊部分是五邊形EFGMN．c、如圖5中，當(dāng)5＜t＜10時(shí)，重疊部分是五邊形EFGMN．d、如圖6中，當(dāng)10＜t＜20時(shí)，重疊部分是正方形EFGH．分別計(jì)算即可；

②分兩種情形分別列出方程即可解決問題．

試題解析：解：（1）如圖1中，當(dāng)0＜t≤5時(shí)，由題意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2

如圖2中，當(dāng)5＜t＜20時(shí)，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．

綜上所述：t=2s或10s時(shí)，點(diǎn)H落在AC邊上．

（2）①如圖3中，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2

如圖4中，當(dāng)2＜t≤5時(shí)，重疊部分是五邊形EFGMN，S=（3t）2﹣（5t﹣10）2=﹣t2+50t﹣50．

如圖5中，當(dāng)5＜t＜10時(shí)，重疊部分是五邊形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣（30﹣3t）2=﹣t2+50t﹣50．

如圖6中，當(dāng)10＜t＜20時(shí)，重疊部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．

綜上所述：S=．

②如圖7中，當(dāng)0＜t≤5時(shí)，t+3t=15，解得：t=，此時(shí)S=100cm2，當(dāng)5＜t＜20時(shí)，t+20﹣t=15，解得：t=10，此時(shí)S=100．

綜上所述：當(dāng)⊙C與GH所在的直線相切時(shí)，求此時(shí)S的值為100cm2