Question

在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于AE對(duì)稱，B′B與AE交于點(diǎn)F，連接AB′，DB′，F(xiàn)C．下列結(jié)論：①AB′=AD；②△FCB′為等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．其中正確的是（　　）

A．①②

B．①②④

C．③④

D．①②③④

Answer 1

①∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于AE對(duì)稱，
∴△ABF與△AB′F關(guān)于AE對(duì)稱，
∴AB=AB′，
∵AB=AD，
∴AB′=AD．故本選項(xiàng)正確；

②如圖，連接EB′．
則BE=B′E=EC，
∠FBE=∠FB′E，
∠EB′C=∠ECB′．
則∠FB′E+∠EB′C=∠FBE+∠ECB′=90°，
即△BB′C為直角三角形．
∵FE為△BCB′的中位線，
∴B′C=2FE，
∵△B′EF∽△AB′F，
∴

FE

FB′

=

EB′

AB′

，
即

FE

FB′

=

EB

AB

=

1

2

，
故FB′=2FE．
∴B′C=FB′．
∴△FCB′為等腰直角三角形．
故本選項(xiàng)正確．

④設(shè)∠ABB′=∠AB′B=x度，
∠AB′D=∠ADB′=y度，
則在四邊形ABB′D中，2x+2y+90°=360°，
即x+y=135度．
又∵∠FB′C=90°，
∴∠DB′C=360°-135°-90°=135°．
故本選項(xiàng)正確．

③假設(shè)∠ADB′=75°成立，
則∠AB′D=75°，
∠ABB′=∠AB′B=360°-135°-75°-90°=60°，
∴△ABB′為等邊三角形，
故B′B=AB=BC，與B′B＜BC矛盾，
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選B．