Question

【題目】如圖，已知點 ，經(jīng)過A、B的直線l以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，與此同時，點P從點B出發(fā)，在直線l上以每秒1個單位的速度沿直線l向右下方向作勻速運動．設(shè)它們運動的時間為t秒．

（1）用含t的代數(shù)式表示點P的坐標(biāo)；
（2）過O作OC⊥AB于C，過C作CD⊥x軸于D，問：t為何值時，以P為圓心、1為半徑的圓與直線OC相切？并說明此時⊙P與直線CD的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作PF⊥y軸于F．

∵點 ，

∴∠BAO=30°．

在直角三角形PFB′中，PB′=t，∠B′PF=30°，

則B′F= ，PF= ．

又BB′=t，

∴OF=OB﹣BB′﹣B′F=6﹣t﹣ =6﹣ t，

則P點的坐標(biāo)為（ ，6﹣ t）．

（2）

解：此題應(yīng)分為兩種情況：

①當(dāng)⊙P和OC第一次相切時，

設(shè)直線B′P與OC的交點是M，

根據(jù)題意，知∠BOC=∠BAO=30°．

則B′M= OB′=3﹣ ，

則PM=3﹣ t．

根據(jù)直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，得

3﹣ t =1，t= ．

此時⊙P與直線CD顯然相離；

②當(dāng)⊙P和OC第二次相切時，

則有 t﹣3=1，t= ．

此時⊙P與直線CD顯然相交；

答：當(dāng)t= 或 時⊙P和OC相切，t= 時⊙P和直線CD相離，當(dāng)t= 時⊙P和直線CD相交．

【解析】（1）過點P向y軸引垂線．根據(jù)已知點A、B的坐標(biāo)可以求得∠BAO=30°，從而可以結(jié)合題意，利用解直角三角形的知識進行求解；（2）此題應(yīng)分作兩種情況考慮：①當(dāng)P位于OC左側(cè)，⊙P與OC第一次相切時，易證得∠COB=∠BAO=30°，設(shè)直線l與OC的交點為M，根據(jù)∠BOC的度數(shù)，即可求得B′M、PM的表達式，而此時⊙P與OC相切，可得PM=1，由此可列出關(guān)于t的方程，求得t的值，進而可判斷出⊙P與CD的位置關(guān)系；②當(dāng)P位于OC右側(cè)，⊙P與OC第二次相切時，方法與①相同．