【題目】已知:等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P在線段AB上,點(diǎn)D在線段AC上,且△PDE為等邊三角形,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)(如圖1),AD+AE的值為   ;

[類比探究]在上面的問題中,如果把點(diǎn)P沿BA方向移動(dòng),使PB=1,其余條件不變(如圖2),AD+AE的值是多少?請(qǐng)寫出你的計(jì)算過程;

[拓展遷移]如圖3,△ABC中,AB=BC,∠ABC=a,點(diǎn)P在線段BA延長(zhǎng)線上,點(diǎn)D在線段CA延長(zhǎng)線上,在△PDE中,PD=PE,∠DPE=a,設(shè)AP=m,則線段AD、AE有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)用含m,a的式子直接寫出你的結(jié)論.

【答案】(1)4.(2)[類比探究]: AD+AE=3(3)[拓展遷移]: AD﹣AE=2msin

【解析】試題分析:(1)只要證明△EPA≌△DPC,即可推出AE=CD,可得AD+AE=AD+DC=AC=4;

(2)[類比探究]:如圖2中,作PK∥BC交AC于K.連接AE.利用(1)中的結(jié)論即可解決問題;

(3)[拓展遷移]:如圖3中,作PJ⊥AD于J,在AD上取一點(diǎn)K,使得PK=PA.由△PDK≌△PEA,推出DK=AE,推出AD﹣AE=AK=2AJ=2msin即可解決問題;

試題解析:(1)如圖1中,

∵△PDE.△PAC都是等邊三角形,∴PE=PD,PA=PC,∠EPD=∠APC=60°,

∴∠EPA=∠DPC,∴△EPA≌△DPC,∴AE=CD,∴AD+AE=AD+DC=AC=4.

(2)[類比探究]: AD+AE=3

理由:如圖2中,作PK∥BC交AC于K.連接AE.

易證△PAK是等邊三角形,

由上面題目可知.AE+AD=AK=3.

(3)[拓展遷移]:如圖3中,作PJ⊥AD于J,在AD上取一點(diǎn)K,使得PK=PA.

易證∠APK=∠DPE=α,

∵PD=PE,PK=PA,∴∠DPK=∠EPA,∴△PDK≌△PEA,∴DK=AE,

∴AD﹣AE=AK=2AJ=2msin.∴AD﹣AE=2msin

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