Question

如圖，已知P是邊長為a的正方形ABCD內一點，△PBC是等邊三角形，則△PAD的外接圓半徑是（　�。�

• A．a
• B．

  2

  a
• C．

  3

  2

  a
• D．

  1

  2

  a

Answer 1

分析：如圖，設△PAD的外接圓為⊙O，根據已知條件可以證明△ABP≌△CDP，然后利用全等三角形的性質得到PA=PD，那么連接OP交AD于E點，根據垂徑定理的推論知道E為AD的中點，并且OP⊥AD，根據已知條件和等邊三角形的性質可以求出∠APD=150°，接著可以求出∠APO，再利用等腰三角形的性質可以求出∠AOE=30°，然后解直角三角形即可求解．

解答：解：如圖，設△PAD的外接圓為⊙O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∵△PBC是等邊三角形，
∴BP=CP，∠PBC=∠PCB=60°，
∴∠ABP=∠PCD=30°，
∴△ABP≌△CDP，
∴PA=PD，
∴∠APD=150°，
連接OP交AD于E點，
根據垂徑定理的推論知道E為AD的中點，并且OP⊥AD，
∴∠APO=75°
而OA=OP，
∴∠AOE=30°，
∴AE=

1

2

AO，
∴AD=AO=a，
∴正方形的邊長為a．
故選A．

點評：此題既考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、也考查了垂徑定理的推論、解直角三角形等知識點，綜合性比較強，對于學生的能力要求比較高，平時加強訓練．