Question

【題目】(1)觀察推理：如圖 1，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,直線 L 過點C，點 A,B 在直線 L 同側(cè)，BD⊥L， AE⊥L，垂足分別為D,E

求證:△AEC≌△CDB

（2）類比探究：如圖 2，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，將斜邊 AB 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90°至 AB’, 連接B’C，求△AB’C 的面積

（3）拓展提升：如圖 3，等邊△EBC 中，EC=BC=3cm，點 O 在 BC 上且 OC=2cm，動點 P 從點 E 沿射線EC 以 1cm/s 速度運動，連接 OP,將線段 OP 繞點O 逆時針旋轉(zhuǎn) 120°得到線段 OF，設(shè)點 P 運動的時間為t 秒。

當(dāng)t= 秒時，OF∥ED

若要使點F 恰好落在射線EB 上，求點P 運動的時間t

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)8；(3)①1；②4s．

【解析】

(1)先利用等角的余角相等得到 ,則可根據(jù)“AAS”證明 ;
(2)作B′D⊥AC于D,如圖2,先證明△B′AD≌△ABD得到B′D=AC=4,然后根據(jù)三角形面積公式計算;
(3)因為OF∥ED，所以∠POF+∠OPC=180°，因為∠POF=120°，所以∠OPC=60°，因為△BEC是等邊三角形，所以∠BCE=60°=∠OPC，∠E=∠OPC=60°，△COP是等邊三角形，PC=OC，即可求解；如圖3,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 ,OP=OF,再證明 得到PC=OB=1,則BP=BC+PC=4,然后計算點P運動的時間t.

(1)如圖1，

∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中

∴△AEC≌△CDB；

(2)作B′D⊥AC于D，如圖2，

∵斜邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AB′，

∴AB′=AB，∠B′AB=90°，

即∠B′AC+∠BAC=90°，

而∠B+∠CAB=90°，

∴∠B=∠B′AC，

在△B′AD和△ABD中

，

∴△B′AD≌△ABD，

∴B′D=AC=4，

∴△AB′C的面積=×4×4=8；

(3)①由題意得：EP=t，則PC=3﹣t，

如圖4，∵OF∥ED

∴∠POF+∠OPC=180°，

∵∠POF=120°，

∴∠OPC=60°，

∵△BEC是等邊三角形，

∴∠BCE=60°=∠OPC，

∴∠E=∠OPC=60°，

∴△COP是等邊三角形，

∴PC=OC=2，

∴2=3﹣t，

∴t=1，

即當(dāng)t=1秒時，OF∥ED，

故答案為：1；

②如圖3，∵OC=2，

∴OB=BC﹣OC=1，

∵線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF，

∴∠FOP=120°，OP=OF，

∴∠1+∠2=60°，

∵△BCE為等邊三角形，

∴∠BCE=∠CBE=60°，

∴∠FBO=120°，∠PCO=120°，

∴∠2+∠3=∠BCE=60°，

∴∠1=∠3，

在△BOF和△CPO，

，

∴△BOF≌△CPO，

∴PC=OB=1，

∴BP=BC+PC=3+1=4，

∴點P運動的時間t==4s．